四元数运动学笔记（2）旋转向量，旋转矩阵和四元数的关系

• Quaternion kinematics for the error-state KF
• barfoot《state estimation forrobotics》
• 袁信、郑锷《捷联式惯性导航原理》
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刚体在空间中的一次旋转可以用旋转矩阵，四元数和旋转向量三种方式表示，以下总结三者的数学转化关系。

• 旋转向量的定义：方向是旋转轴，大小是旋转角的向量，表示刚体在空间中的一次旋转。
• 定义向量x绕单位旋转轴u旋转角度$\varphi$，将向量绕u轴和垂直u轴分解，并利用向量的点乘的几何意义得到：

  

• 平行于u轴的分量在旋转中保持不变，垂直分量则旋转$\varphi$角度，公式(48)到（49）的推导利用了正交基的几何关系和上式证明的模长相等。

  

2.1旋转矩阵微分和旋转向量的推导

• 相对于笔记1，利用哥氏定理推导旋转矩阵的微分方程，这里给出了另外一种微分方程的推导，并从旋转角时间积分的角度给出一种旋转向量的定义。

  

2.2罗德里格旋转公式

• 利用李群SO(3)推导出以旋转向量表示的罗德里格旋转公式(Rodrigues rotation formula)；其中计算时旋转轴u用哪个坐标系表示都是等价的，后面将证明。

  

• 利用罗德里格旋转公式推导向量旋转公式

  

3.1 由欧拉参数推导四元数

• 由旋转矩阵的欧拉参数(Euler Parameters)推导单位四元数的表示,这里参考barfoot书上的内容，这部分也证明了罗德里格旋转公式的旋转轴u用哪个坐标系表示都可以。1中也有说明，旋转轴在旋转过程中没有几何位置变化。

  
  

• 由此得到以欧拉参数推导出的单位四元数

  

3.2旋转向量表示四元数

• 根据3.1，由旋转向量表示四元数可以写成：

  

• 用四元数表示向量的旋转，这里和四元数相乘运算的三维向量都改写成四元数的形式（只有虚部，实部为0），并进行了证明(结果等于向量旋转公式结果)：

  

• 由2.2和3.3，以向量旋转公式为纽带，得到旋转矩阵和四元数表示旋转的等价关系,进而得到单位四元数的元素表示的旋转矩阵,该结果和3.1由欧拉参数表示罗德里格公式的结论一致。3.1中的欧拉参数其实就是这里的单位四元数的实部和虚部。
• 其中$\overline{x}$表示这里的x是以四元数的形式表示的。

  
  
  
  

• 我们提到欧拉角，一般指的是绝对姿态的欧拉角，即导航系下的机体俯仰滚转和偏航角，而旋转向量角指的是一次旋转过程的角度，一般是微小量。
• 两者的关系：机体在运动过程中欧拉角的更新可以看做是初始旋转矩阵(欧拉角表示)与每次旋转矩阵（旋转向量角表示）的积分。