机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

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机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

zouxy09@qq.com

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机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

这节学习的是逻辑回归（Logistic Regression），也算进入了比较正统的机器学习算法。啥叫正统呢？我概念里面机器学习算法一般是这样一个步骤：

1）对于一个问题，我们用数学语言来描述它，然后建立一个模型，例如回归模型或者分类模型等来描述这个问题；

2）通过最大似然、最大后验概率或者最小化分类误差等等建立模型的代价函数，也就是一个最优化问题。找到最优化问题的解，也就是能拟合我们的数据的最好的模型参数；

3）然后我们需要求解这个代价函数，找到最优解。这求解也就分很多种情况了：

a）如果这个优化函数存在解析解。例如我们求最值一般是对代价函数求导，找到导数为0的点，也就是最大值或者最小值的地方了。如果代价函数能简单求导，并且求导后为0的式子存在解析解，那么我们就可以直接得到最优的参数了。

b）如果式子很难求导，例如函数里面存在隐含的变量或者变量相互间存在耦合，也就互相依赖的情况。或者求导后式子得不到解释解，例如未知参数的个数大于已知方程组的个数等。这时候我们就需要借助迭代算法来一步一步找到最有解了。迭代是个很神奇的东西，它将远大的目标（也就是找到最优的解，例如爬上山顶）记在心上，然后给自己定个短期目标（也就是每走一步，就离远大的目标更近一点），脚踏实地，心无旁贷，像个蜗牛一样，一步一步往上爬，支撑它的唯一信念是：只要我每一步都爬高一点，那么积跬步，肯定能达到自己人生的巅峰，尽享山登绝顶我为峰的豪迈与忘我。

另外需要考虑的情况是，如果代价函数是凸函数，那么就存在全局最优解，方圆五百里就只有一个山峰，那命中注定了，它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的，那么就会有很多局部最优的解，有一望无际的山峰，人的视野是伟大的也是渺小的，你不知道哪个山峰才是最高的，可能你会被命运作弄，很无辜的陷入一个局部最优里面，坐井观天，以为自己找到的就是最好的。没想到山外有山，人外有人，光芒总在未知的远处默默绽放。但也许命运眷恋善良的你，带给你的总是最好的归宿。也有很多不信命的人，觉得人定胜天的人，誓要找到最好的，否则不会罢休，永不向命运妥协，除非自己有一天累了，倒下了，也要靠剩下的一口气，迈出一口气能支撑的路程。好悲凉啊……哈哈。

呃，不知道扯那去了，也不知道自己说的有没有错，有错的话请大家不吝指正。那下面就进入正题吧。正如上面所述，逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏，冥冥人海，滚滚红尘，我们是否找到了最适合的那个她。

一、逻辑回归（LogisticRegression）

Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测，也就是根据某广告被用户点击的可能性，把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方，然后叫他“你点我啊！”用户点了，你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。

还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。

Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗？它就是个二分类的例如，它可以将两个不同类别的样本给分开，思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它，它能够给你的只有一个答案，你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM，某个女生是否喜欢你，它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说，显得太粗鲁了，要不希望，要不绝望，这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我，她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢，你想都不用想了等等，告诉你她有49%的几率喜欢你，总比直接说她不喜欢你，来得温柔。而且还提供了额外的信息，她来到你的身边你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百战百胜，哈哈。Logistic regression就是这么温柔的，它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。

还得来点数学。（更多的理解，请参阅参考文献）假设我们的样本是{x, y}，y是0或者1，表示正类或者负类，x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类，也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示：

这里θ是模型参数，也就是回归系数，σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率（也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数）变换得到的：

换句话说，y也就是我们关系的变量，例如她喜不喜欢你，与多个自变量（因素）有关，例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等，我们把这些因素表示为x₁, x₂,…, x_m。那这个女的怎样考量这些因素呢？最快的方式就是把这些因素的得分都加起来，最后得到的和越大，就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称，每个人考虑的因素不同，萝卜青菜，各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品，人品的权值是0.6，不看重你有没有钱，没钱了一起努力奋斗，那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x₁, x₂,…, x_m的权值叫做回归系数，表达为θ₁, θ₂,…, θ_m。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生，非诚勿扰！哈哈。

所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型，它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响（不知道理解的是否正确）。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举，也就是在输出加一个logistic函数。另外，对于二分类来说，可以简单的认为：如果样本x属于正类的概率大于0.5，那么就判定它是正类，否则就是负类。实际上，SVM的类概率就是样本到边界的距离，这个活实际上就让logistic regression给干了。

所以说，LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

好了，关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下，模型选好了，只是模型的参数θ还是未知的，我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。

LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“从最大似然到EM算法浅解”。

假设我们有n个独立的训练样本{(x₁, y₁) ,(x₂, y₂),…, (x_n, y_n)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(x_i, y_i)出现的概率是：

上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：

那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。

OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，耗时耗力。

我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有x_i的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：

这时候，用L(θ)对θ求导，得到：

然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。

二、优化求解

2.1、梯度下降(gradient descent)

Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：

但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。

对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：

其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，虽然会落在最优的点，但是这速度如果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊！这个优化具体见2.3 。

梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

计算整个数据集的梯度

使用alpha x gradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)

梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法来说，我们需要把x和数据库A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集的叫“批处理”。

随机梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

对数据集中每个样本

计算该样本的梯度

使用alpha xgradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

2.3、改进的随机梯度下降

评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度是否快？

上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本，每个样本都对系数调整一次，所以共有200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非线性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。

对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：

1）在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每次迭代系数改变得太大，跳的跨度太大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项，具体见代码。

2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。

改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

对随机遍历的数据集中的每个样本

随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值

计算该样本的梯度

使用alpha x gradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：

1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。

三、Python实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

logRegression.py

[python]view plaincopy

1. #################################################
2. #logRegression:LogisticRegression
3. #Author:zouxy
4. #Date:2014-03-02
5. #HomePage:http://blog.csdn.net/zouxy09
6. #Email:zouxy09@qq.com
7. #################################################
9. fromnumpyimport*
10. importmatplotlib.pyplotasplt
11. importtime
14. #calculatethesigmoidfunction
15. defsigmoid(inX):
16. return1.0/(1+exp(-inX))
19. #trainalogisticregressionmodelusingsomeoptionaloptimizealgorithm
20. #input:train_xisamatdatatype,eachrowstandsforonesample
21. #train_yismatdatatypetoo,eachrowisthecorrespondinglabel
22. #optsisoptimizeoptionincludestepandmaximumnumberofiterations
23. deftrainLogRegres(train_x,train_y,opts):
24. #calculatetrainingtime
25. startTime=time.time()
27. numSamples,numFeatures=shape(train_x)
28. alpha=opts['alpha'];maxIter=opts['maxIter']
29. weights=ones((numFeatures,1))
31. #optimizethroughgradientdescentalgorilthm
32. forkinrange(maxIter):
33. ifopts['optimizeType']=='gradDescent':#gradientdescentalgorilthm
34. output=sigmoid(train_x*weights)
35. error=train_y-output
36. weights=weights+alpha*train_x.transpose()*error
37. elifopts['optimizeType']=='stocGradDescent':#stochasticgradientdescent
38. foriinrange(numSamples):
39. output=sigmoid(train_x[i,:]*weights)
40. error=train_y[i,0]-output
41. weights=weights+alpha*train_x[i,:].transpose()*error
42. elifopts['optimizeType']=='smoothStocGradDescent':#smoothstochasticgradientdescent
43. #randomlyselectsamplestooptimizeforreducingcyclefluctuations
44. dataIndex=range(numSamples)
45. foriinrange(numSamples):
46. alpha=4.0/(1.0+k+i)+0.01
47. randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))
48. output=sigmoid(train_x[randIndex,:]*weights)
49. error=train_y[randIndex,0]-output
50. weights=weights+alpha*train_x[randIndex,:].transpose()*error
51. del(dataIndex[randIndex])#duringoneinteration,deletetheoptimizedsample
52. else:
53. raiseNameError('Notsupportoptimizemethodtype!')
56. print'Congratulations,trainingcomplete!Took%fs!'%(time.time()-startTime)
57. returnweights
60. #testyourtrainedLogisticRegressionmodelgiventestset
61. deftestLogRegres(weights,test_x,test_y):
62. numSamples,numFeatures=shape(test_x)
63. matchCount=0
64. foriinxrange(numSamples):
65. predict=sigmoid(test_x[i,:]*weights)[0,0]>0.5
66. ifpredict==bool(test_y[i,0]):
67. matchCount+=1
68. accuracy=float(matchCount)/numSamples
69. returnaccuracy
72. #showyourtrainedlogisticregressionmodelonlyavailablewith2-Ddata
73. defshowLogRegres(weights,train_x,train_y):
74. #notice:train_xandtrain_yismatdatatype
75. numSamples,numFeatures=shape(train_x)
76. ifnumFeatures!=3:
77. print"Sorry!Icannotdrawbecausethedimensionofyourdataisnot2!"
78. return1
80. #drawallsamples
81. foriinxrange(numSamples):
82. ifint(train_y[i,0])==0:
83. plt.plot(train_x[i,1],train_x[i,2],'or')
84. elifint(train_y[i,0])==1:
85. plt.plot(train_x[i,1],train_x[i,2],'ob')
87. #drawtheclassifyline
88. min_x=min(train_x[:,1])[0,0]
89. max_x=max(train_x[:,1])[0,0]
90. weights=weights.getA()#convertmattoarray
91. y_min_x=float(-weights[0]-weights[1]*min_x)/weights[2]
92. y_max_x=float(-weights[0]-weights[1]*max_x)/weights[2]
93. plt.plot([min_x,max_x],[y_min_x,y_max_x],'-g')
94. plt.xlabel('X1');plt.ylabel('X2')
95. plt.show()

四、测试结果

测试代码：

test_logRegression.py

[python]view plaincopy

1. #################################################
2. #logRegression:LogisticRegression
3. #Author:zouxy
4. #Date:2014-03-02
5. #HomePage:http://blog.csdn.net/zouxy09
6. #Email:zouxy09@qq.com
7. #################################################
9. fromnumpyimport*
10. importmatplotlib.pyplotasplt
11. importtime
13. defloadData():
14. train_x=[]
15. train_y=[]
16. fileIn=open('E:/Python/MachineLearninginAction/testSet.txt')
17. forlineinfileIn.readlines():
18. lineArr=line.strip().split()
19. train_x.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
20. train_y.append(float(lineArr[2]))
21. returnmat(train_x),mat(train_y).transpose()
24. ##step1:loaddata
25. print"step1:loaddata..."
26. train_x,train_y=loadData()
27. test_x=train_x;test_y=train_y
29. ##step2:training...
30. print"step2:training..."
31. opts={'alpha':0.01,'maxIter':20,'optimizeType':'smoothStocGradDescent'}
32. optimalWeights=trainLogRegres(train_x,train_y,opts)
34. ##step3:testing
35. print"step3:testing..."
36. accuracy=testLogRegres(optimalWeights,test_x,test_y)
38. ##step4:showtheresult
39. print"step4:showtheresult..."
40. print'Theclassifyaccuracyis:%.3f%%'%(accuracy*100)
41. showLogRegres(optimalWeights,train_x,train_y)

测试数据是二维的，共100个样本。有2个类。如下：

testSet.txt

[python]view plaincopy

1. -0.01761214.0530640
2. -1.3956344.6625411
3. -0.7521576.5386200
4. -1.3223717.1528530
5. 0.42336311.0546770
6. 0.4067047.0673351
7. 0.66739412.7414520
8. -2.4601506.8668051
9. 0.5694119.5487550
10. -0.02663210.4277430
11. 0.8504336.9203341
12. 1.34718313.1755000
13. 1.1768133.1670201
14. -1.7818719.0979530
15. -0.5666065.7490031
16. 0.9316351.5895051
17. -0.0242056.1518231
18. -0.0364532.6909881
19. -0.1969490.4441651
20. 1.0144595.7543991
21. 1.9852983.2306191
22. -1.693453-0.5575401
23. -0.57652511.7789220
24. -0.346811-1.6787301
25. -2.1244842.6724711
26. 1.2179169.5970150
27. -0.7339289.0986870
28. -3.642001-1.6180871
29. 0.3159853.5239531
30. 1.4166149.6192320
31. -0.3863233.9892861
32. 0.5569218.2949841
33. 1.22486311.5873600
34. -1.347803-2.4060511
35. 1.1966044.9518511
36. 0.2752219.5436470
37. 0.4705759.3324880
38. -1.8895679.5426620
39. -1.52789312.1505790
40. -1.18524711.3093180
41. -0.4456783.2973031
42. 1.0422226.1051551
43. -0.61878710.3209860
44. 1.1520830.5484671
45. 0.8285342.6760451
46. -1.23772810.5490330
47. -0.683565-2.1661251
48. 0.2294565.9219381
49. -0.95988511.5553360
50. 0.49291110.9933240
51. 0.1849928.7214880
52. -0.35571510.3259760
53. -0.3978228.0583970
54. 0.82483913.7303430
55. 1.5072785.0278661
56. 0.0996716.8358391
57. -0.34400810.7174850
58. 1.7859287.7186451
59. -0.91880111.5602170
60. -0.3640094.7473001
61. -0.8417224.1190831
62. 0.4904261.9605391
63. -0.0071949.0757920
64. 0.35610712.4478630
65. 0.34257812.2811620
66. -0.810823-1.4660181
67. 2.5307776.4768011
68. 1.29668311.6075590
69. 0.47548712.0400350
70. -0.78327711.0097250
71. 0.07479811.0236500
72. -1.3374720.4683391
73. -0.10278113.7636510
74. -0.1473242.8748461
75. 0.5183899.8870350
76. 1.0153997.5718820
77. -1.658086-0.0272551
78. 1.3199442.1712281
79. 2.0562165.0199811
80. -0.8516334.3756911
81. -1.5100476.0619920
82. -1.076637-3.1818881
83. 1.82109610.2839900
84. 3.0101508.4017661
85. -1.0994581.6882741
86. -0.834872-1.7338691
87. -0.8466373.8490751
88. 1.40010212.6287810
89. 1.7528425.4681661
90. 0.0785570.0597361
91. 0.089392-0.7153001
92. 1.82566212.6938080
93. 0.1974459.7446380
94. 0.1261170.9223111
95. -0.6797971.2205301
96. 0.6779832.5566661
97. 0.76134910.6938620
98. -2.1687910.1436321
99. 1.3886109.3419970
100. 0.31702914.7390250

训练结果：

(a)梯度下降算法迭代500次。(b)随机梯度下降算法迭代200次。(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。

五、参考文献

[1]Logisticregression （逻辑回归） 概述

[2]LogisticRegression 之基础知识准备

[3]LogisticRegression