JAVA浮点数的范围 和精度

本篇先介绍IEEE754标准中针对浮点数的规范，然后以问答形式补充有关浮点数的知识点。

（一）IEEE754标准

IEEE 754 标准即IEEE浮点数算术标准，由美国电气电子工程师学会（IEEE）计算机学会旗下的微处理器标准委员会发布。

以32位float数据为例，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，8bit表示指数部分(Exp)，23表示小数部分的尾数(Fraction)。

表一 单精度浮点数在内存中存储形式

符号位——S取0时表示负数，取1时表示负数。

指数部分——使用所谓的偏正值形式表示，而不是补码表示，即指数部分采用一个无符号的正数值存储。也就是说指数部分要表示的值等于实际存储值减去一个固定值（对于单精度float类型，是127）。采用这种方式表示的目的是简化比较，因为，如果采用补码表示的话,全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。因为指数值的大小从0～255（0和255是特殊值），单精度的指数部分范围是-127～+128（对应的，-127和128是特殊值）。

尾数部分——23bit尾数仅能表示小数部分的尾数，小数部分最高有效位由指数部分决定，具体见下表。小数部分最高有效位是1的数被称为正规形式。小数部分最高有效位是0的数被称为非正规形式，其他情况是特殊值。

表二 单精度浮点数表示规则

按照IEEE标准，除了 NaN 以外，浮点数集合中的所有元素都是有序的。如果把它们从小到大按顺序排列好，那顺序将会是：负无穷，正规形式（负数）、非正规形式（负数）、负0、正0、非正规形式（正数）、正规形式（正数）、正无穷。

对于64bit的双精度double类型，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，11bit表示指数部分(Exp)，52bit表示小数部分的尾数(Fraction)。指数部分的偏正值是1023，其他情况跟单精度类似，不再赘述。

（二）浮点数Q&A

1)浮点数可以表示数据的范围是什么？

不考虑特殊值（无穷大、NaN等），浮点数可以表示的范围是[-Max,Max]。其中Max是浮点数能表示的最大值，具体值参见表三。

表三 浮点数最大值

2)浮点数的精度怎样衡量？

浮点数指数部分Exp的数值决定了浮点数与相邻浮点数的差值，所以，指数部分越小（单精度最小为-127），即浮点数绝对值越小（也就是浮点数越靠近0），相邻浮点数的差值越小（单精度最小为2^(-127)），浮点数能表示的有效小数位数越多。反之，指数部分越大（单精度最大为127），即浮点数绝对值越大（也就是浮点数越远离0），相邻浮点数的差值越大（单精度最小为2^(127)），浮点数能表示的有效小数位数越少。但是，从科学计算的角度看，不管指数部分的数值是多少，浮点数的有效位数由尾数部分决定，单精度的有效数是7位，双精度的有效数是16位。

表四 浮点数最小正数

3）我们知道，在Java中，存在基本数据类型的自动转换，比如，直接将一个整形字面量赋给一个float变量。 那么，在自动转换后，整形的精度会丢失么？

当浮点集中没有与整形值对应的浮点数时，会将整形值转化成最接近的浮点值，此时，整形值会丢失精度。例如下面的例子，数值为33554431的整形转化成单精度浮点数后，变成3.3554432E7，即33554432。

int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;// 33554431

float floatFromInt = intValue;

System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7

System.out.println(intValue);// 33554431

最后附查看某些浮点数字节码、16进制表示、10进制表示的源码及运行结果。

单精度源码及结果。 

 Float

3.3554432E7
33554431
描述           十六进制数                       字节码             十进制数    
正        无         穷 Infinity            7f800000    Infinity            
最        大         值 0x1.fffffep127      7f7fffff    3.4028235E38        
最小正规形式正数     0x1.0p-126          00800000    1.17549435E-38      
最大非正规形式值     0x0.8p-126          00400000    5.877472E-39        
最    小      正    数 0x0.000002p-126     00000001    1.4E-45             
负         无        穷 -Infinity           ff800000    -Infinity           
规     范     的 NaN NaN                 7fc00000    NaN                 
其     他     的 NaN NaN                 ffc54321    NaN                

双精度源码及结果。 

 Double

描述           十六进制数                                           字节码                                      十进制数 
正        无         穷 Infinity                      7ff0000000000000        Infinity                                
最        大         值 0x1.fffffffffffffp1023        7fefffffffffffff        1.7976931348623157E308                  
最小正规形式正数     0x1.0p-1022                   0010000000000000        2.2250738585072014E-308                 
最大非正规形式值     0x0.8p-1022                   0008000000000000        1.1125369292536007E-308                 
最    小      正    数 0x0.0000000000001p-1022       0000000000000001        4.9E-324                                
负         无        穷 -Infinity                     fff0000000000000        -Infinity                               
规     范     的 NaN NaN                           7ff8000000000000        NaN                                     
其     他     的 NaN NaN                           fff8000000054321        NaN                                    

参考资料：

1、IEEE754百度百科

2、《Java虚拟机规范（Java SE 7）》