摘要：
设在独立试验重复序列中，事件A在各次试验中发生的概率为p(0<p<1),随机变量ηn表示事件A在n次试验中发生的次数，则有在独立测试的重复序列中，每次测试中事件A发生的概率为p，随机变量ηN表示事件A在N次测试中发生的次数，则为。其中z为任何实数，q=1-p。证明：设置随机变量ξI是第I次测试中事件A发生的次数（I=1,2
.其中z为任意实数，q=1-p.
证：设随机变量ξi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…)，则ξi服从“0-1”分布，相互独立，且有
直接由列维定理就得此定理.
l近似公式
在上述定理条件下，当n充分大时，ηn落在m1与m2之间的概率
（5.19）
注：此定理实际上说明了当n充分大时，二项分布B(n,p)逼近正态分布N(np,npq)，这是因为ηn是服从二项分布B(n,p)的.
转自：http://4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/5/gltj05040103.htm例2某批产品的次品率为0.005，试求在10000件产品中次品不多于70件的概率P.
解设ξ表示在任意抽取的10000件产品中的次品数，则ξ服从二项分布B(10000,0.005). 此时若直接计算概率
这是较困难的.我们利用近似公式来计算,则
已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50,
，故
例3 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦.由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的.求:（1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率;（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.99?
解 设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验.已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,
，故
（1）设η表示任一时刻处于工作状态的机器数，
（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求
利用（5.19）式得,
因
，故
，查标准正态分布表
得
，并注意到函数
是单调增的，
则有
，解得m≥164.25
因为m为整数，故取m=165,即需要供应165Q千瓦的电功率.
