摘要：
2仿射变换仿射变换从几何角度看只有两点：变换前是直的，变换后仍然是直的。直线的比例不变，所以原点不变。在上一节中，我们说过线性变换是通过矩阵乘法实现的，而仿射变换不能单独通过矩阵乘法来实现，但也需要加法。因为我们将仿射变换表示为：2.2通过线性变换完成仿射变换。这对我来说是一个非常美丽的地方：你是什么意思？
原文地址：https://www.matongxue.com/madocs/244.html
简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。
先看什么是线性变换？
1 线性变换
线性变换从几何直观有三个要点：
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 直线比例保持不变
- 变换前是原点的，变换后依然是原点
比如说旋转：
比如说推移：
这两个叠加也是线性变换：
自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：
Graphics
Created with GeoGebra
1.1 代数
简单讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。
你可以手动操作下，会发现旋转矩阵在不断变化（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：
Graphics
Created with GeoGebra
总结下来，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。
2 仿射变换
仿射变换从几何直观只有两个要点：
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 直线比例保持不变
少了原点保持不变这一条。
比如平移：
因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化。
2.1 代数
我们来看下仿射变换是怎么用代数来表示的。
上一节我们说了，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。
因为我们表示仿射变换为：
2.2 通过线性变换来完成仿射变换
这是我觉得非常优美的一个地方：
什么意思？继续举例子：
这样我就可以在三维空间下通过![egin{bmatrix}A&vec{b}\0&1end{bmatrix}]()
这个线性变换来操作![z=1]()
平面上的二维正方形，完成仿射变换：
自己动手操作一下：
Graphics
Created with GeoGebra
我们平移到需要的位置的时候：
如果还有没有清楚的地方，可以结合之前的描述，看一下维基百科“仿射变换”词条里的一个gif动图，非常生动的表明了这一过程：