矩阵理论 第三讲 线性变换及其矩阵

第三讲 线性变换及其矩阵

一、线性变换及其运算

定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为

Tx＝y

称y为x在变换T下的象，x为y的原象。

若变化T还满足

T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)x,yV, k,lK

称T为线性变换。

[例1] 二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。

[证明]

可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换

，k，l

    T是线性变换。

[例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间，其基可选为，微分算子是上的一个线性变换。

[证明] 显然对而言是变换，

要证明满足线性变换的条件

，k，l

    是上的线性变换。

2. 性质

1. 线性变换把零元素仍变为零元素
2. 负元素的象为原来元素的象的负元素
3. 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组

[证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)

（1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0

（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)

（3）元素组线性相关，即存在一组不全为零的数 使

则

    线性相关。

[得证]

应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。

3. 线性变换的运算

1. 恒等变换：
2. 零变换：
3. 变换的相等：、是的两个线性变换，，均有，则称＝
4. 线性变换的和+：，
5. 线性变换的数乘：，

   负变换：

6. 线性变换的乘积：，
7. 逆变换：，若存在线性变换使得，则称为的逆变换＝
8. 线性变换的多项式：

，并规定

需要说明的是：

1）也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵；

2）对应的矩阵表示为零矩阵；

3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；

4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，；

5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。

二、线性变换的矩阵表示

线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

设是线性空间的一个线性变换，且是的一个基，ⁿ，存在唯一的坐标表示

＝

因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。

对于任意元素，在该基下，变换后的坐标表示为

同时

对比可知：

＝

即：

1. 定义：把称为在基下的矩阵。
2. 定理：设是的一个基，、在该基下的矩阵分别为、。则有

   （1）

   （2）

   （3）

   （4）

   推论1. 设为纯量t的m次多项式，为线性空间的一个线性变换，且在的基下的矩阵为，则

   

   其中

   

   推论2. 设线性变换在的基下的矩阵为，元素在该基下的坐标为，则在该基下的坐标满足

   ＝

3.相似矩阵

设在的两个基及的矩阵分别为和，且＝，则

即和为相似矩阵。

[证明]

即

定理：阶方阵和相似的充要条件是和为同一线性变换在不同基下的矩阵。

[证明] 必要性：已知和相似，即存在可逆矩阵使

选取一个基，定义

考虑可作为基，且

和为同一线性变换在不同基下的矩阵。

充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。

三、线性变换及矩阵的值域和核

1. 定义：设是线性空间的线性变换，称

为的值域；

称为的核。

和均为的子空间。

设为阶矩阵，称

为矩阵的值域；

为的核。

、称为的秩和零度；

、称为的秩和零度。

1. 定理：（1）

（2）

（3），为的列数。

若是线性变换的矩阵，则

=，=

作业：P77－78，1、26、7