四元数运动学笔记（4）旋转的雅克比矩阵

1.相对于旋转向量的雅克比

• 这里在全局系下利用左扰动进行推导：
  $\frac{\mathrm{\partial }{a}^{{}^{\prime }}}{\mathrm{\partial }\theta }=\frac{\mathrm{\partial }Ra}{\mathrm{\partial }\theta }$

  

2.相对于四元数的雅克比

2.1相关公式

• 三叉积公式:

  

• 纯实部的四元数和四元数相乘,这里$q_w$是实数
  
  $$[q_w,0_3{]}^T\otimes q=q_w{q}_1\otimes q=q_{w}q$$
• 两个纯虚四元数相乘：

  

2.2推导雅克比

• 由以上三个公式可以得到以下公式的推导，其中这里的$w,v,a$在涉及到四元数相乘的情况时，都是四元数的表示形式（纯实部四元数和纯虚部四元数），其他情况下则是正常的标量和三维向量。

  

• 旋转过程相对于四元数的雅克比