第一步：分治法的简单思想
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)等等。
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。 n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。 而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
第二步：分治法的理论基础
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
2.1分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
2.2分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1）if |P|≤n0
2）then return(ADHOC(P))
3）将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4）for i←1 to k
5）do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6）T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7）return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？答: 但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
分析： 由于顺序表的结构没有给出，作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义，数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果，如果大小为 2则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解
第三步：问题的描述
假设有n=2k 个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足一下要求的比赛日程表：
1. 每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次
2. 每个选手一天只能赛一次
3. 循环赛一共进行n-1天
第四步：算法设计
4.1文字描述
假设n位选手顺序编号为1，2，3……n，比赛的日程表是一个n行n-1列的表格。i行j列的表格内容是第i号选手在第j天的比赛对手。根据分而治之的原则，可从其中一半选手的比赛日程，导出全体n位选手的的日程，最终细分到只有两位选手的比赛日程出
4.2框图描述
4.3伪代码
public static void Table(int n,int[][]a) {
int b = 2;
n = saicheng.x;//参赛人数
int k=(int) (Math.log(n)/Math.log(b)); //计算输入值是2的几次幂
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[1][i]=i;//打印出第一行即选手1的赛程表
}
int m=1;//控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置
for(int s=1;s<=k;s++)
{
n/=2;//将问题分成k部分
for(int t=1;t<=n;t++)//对每一部分进行划分
{
for(int i=m+1;i<=2*m;i++)//控制行
{
for(int j=m+1;j<=2*m;j++)//控制列
{
a[i][j +(t - 1) * m *2] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2 - m];//右下角等于左上角
a[i][j + (t - 1) * m * 2 -m] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2];//左下角等于右上角
}
}
}
m*=2;
}
}
五、详细设计及说明
1.输入一个数字n，根据（x&（x-1））==0判断n是否等于2^k。不是则提示重新输入；是则利用换底公式k=(int)(Math.log(n)/Math.log(b))求出k.
2.用一个for循环输出日程表的第一行
for(int i=1;i<=N;i++)
a[1][i] = i；
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
图5-1
3定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。
4.用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。
for (int s=1;s<=k;s++)
N/=2;
5.用一个for循环对4中提到的每一部分进行划分
for(int t=1;t<=N;t++)
对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分
|
|
|
|
|
|
|
|
图5-2
同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理
6.最后，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充
for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行
for(int j=m+1;j<=2*m;j++) //j控制列
{
a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */
a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */
}
例:由初始化的第一行填充第二行
表5-1
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
2 | 1 | 4 | 3 | 6 | 5 | 8 | 7 |
进行第二部分的填充
表5-2
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
2 | 1 | 4 | 3 | 6 | 5 | 8 | 7 |
3 | 4 | 1 | 2 | 7 | 8 | 5 | 6 |
4 | 3 | 2 | 1 | 8 | 7 | 6 | 5 |
最后是第三部分的填充
表5-3
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
2 | 1 | 4 | 3 | 6 | 5 | 8 | 7 |
3 | 4 | 1 | 2 | 7 | 8 | 5 | 6 |
4 | 3 | 2 | 1 | 8 | 7 | 6 | 5 |
5 | 6 | 7 | 8 | 1 | 2 | 3 | 4 |
6 | 5 | 8 | 7 | 2 | 1 | 4 | 3 |
7 | 8 | 5 | 6 | 3 | 4 | 1 | 2 |
8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
第七步：总结
根据分治算法，将本问题进行了由小规模到大规模的求解设计，程序设计的关键点在于如何对问题进行划分和填充公式的归纳。在划分时，主要运用了两个for循环；在填充时，运用了两个for循环。通过这次程序设计，加深了对分治算法的认识。解决具体问题时，程序故重要，但一个好的算法更加重要。不足之处即花费了很长时间来推导这个算法，对算法掌握还不够熟练。
分析一个复杂问题，可以按照这七步，逐步求解。