题目描述
终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。
这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。
小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为W的采集车，洞穴里总共有n种宝物，每种宝物的价值为vi，重量为wi，每种宝物有mi件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。
输入格式
第一行为一个整数n和W，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。接下来n行每行三个整数vi,wi,mi。
输出格式
输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。
输入输出样例
输入： 4 20 3 9 3 5 9 1 9 4 2 8 1 3 输出： 27
下面就是这道题的题解！
这道题好像就是多重背包
多重背包有很多种思路去做，我会的一共有两种：
第一种是把多重背包看成是01背包来做
就直接说这个题，每种宝物有一个或者多个，我们可以把这多个看成是不同的物体，这样就是一个普通的01背包问题
但是嘞，这么做时间复杂度会暴增，肯定会爆掉几个点所以这个问题就不能用这个方法去做
所以直接进入下个方法：
这个方法用到了二进制的思想
怎么硕呢
举个例子，一个数13，有这么几个数：1,2,4,8,16...（我绝对不会告诉你这是以2为底数的幂）
要求用这些数凑齐13，很简单1+4+8＝13，
其他的任何正整数都可以凑出来，为什么呢？
把这些以2为底数的幂全部用2进制表示：
1-＞1
2->10
4->100
8->1000
......
然后来凑数x
x用二进制来表示肯定是1和0组成的，然后看上面的数，每一个以2为底数的幂都在每个二进制位上有一个单独的1，其他都是0
也就是说，所有1和0的组合都能够加出来
所以，以2为底数的幂相加可以凑出任何一个正整数。
好了，证明完了，现在做题
在这个题目中，我们可以不把宝物数量分成一个一个的，而是分成上面所说的数字
这样时间复杂度会大大降低。
下面直接上代码（数据很水，这种非最优方法就能过）
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #define inf 100000000 using namespace std; //状态：dp[i][j]表示前i个物品占用体积为j时所获得的的最大价值。 //转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j] // dp[i-1][j-w[i]]+v[i] // ........ // dp[i-1][j-n[i]*w[i]]+n[i]*v[i]) //复杂度：O(Σlogn[i]*m) int n0,v0,w0,v[100001],w[100001],dp[1001][1001]; int main() { int N,V; cin>>N>>V; int d=0; for(int i=1;i<=N;i++) { cin>>v0>>w0>>n0; int k=1; while(n0>=k) { v[++d]=k*v0; w[d]=k*w0; n0-=k; k*=2; } if(n0!=0) { v[++d]=n0*v0,w[d]=n0*w0; } } for(int i=1;i<=d;i++) for(int j=V;j>=0;j--) { if(j-w[i]>=0) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]); else dp[i][j]=dp[i-1][j]; } int ans=0; for(int i=0;i<=V;i++) { ans=max(dp[d][i],dp[d][i-1]); } cout<<ans; return 0; }
最后祝大家AC所有题！
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