[有向图强连通分量]
在有向图G中,如果两个 顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种!后续文章中将相继介绍,首先介绍Tarjan算法
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
算法伪代码如下
tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index //为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) //将节点u压入栈中 for each (u, v) in E //枚举每一条边 if (v is not visted) //如果节点v未被访问过 tarjan(v) //继续向下找 Low[u] =min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) //如果节点v还在栈内 Low[u] =min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) //如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop //将v退栈,为该强连通分量中一个顶点 print v until (u==v) }
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求 有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。 在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
#include "cstdlib"#include "cctype"#include "cstring"#include "cstdio"#include "cmath"#include "algorithm"#include "vector"#include "string"#include "iostream"#include "sstream"#include "set"#include "queue"#include "stack"#include "fstream"#include "strstream" using namespacestd; #define M 2000 //题目中可能的最大点数 int STACK[M],top=0; //Tarjan 算法中的栈 bool InStack[M]; //检查是否在栈中 int DFN[M]; //深度优先搜索访问次序 int Low[M]; //能追溯到的最早的次序 int ComponetNumber=0; //有向图强连通分量个数 int Index=0; //索引号 vector <int> Edge[M]; //邻接表表示 vector <int> Component[M]; //获得强连通分量结果 void Tarjan(inti) { intj; DFN[i]=Low[i]=Index++; InStack[i]=true; STACK[++top]=i; for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) { j=Edge[i][e]; if (DFN[j]==-1) { Tarjan(j); Low[i]=min(Low[i],Low[j]); } else if(InStack[j]) Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); } if (DFN[i]==Low[i]) { cout<<"TT "<<i<<" "<<Low[i]<<endl; ComponetNumber++; do{ j=STACK[top--]; InStack[j]=false; Component[ComponetNumber].push_back(j); } while (j!=i); } } void solve(int N) //此图中点的个数,注意是0-indexed! { memset(STACK,-1,sizeof(STACK)); memset(InStack,0,sizeof(InStack)); memset(DFN,-1,sizeof(DFN)); memset(Low,-1,sizeof(Low)); for(int i=0;i<N;i++) if(DFN[i]==-1) Tarjan(i); } /*此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。 */ intmain() { Edge[0].push_back(1);Edge[0].push_back(2); Edge[1].push_back(3); Edge[2].push_back(3);Edge[2].push_back(4); Edge[3].push_back(0);Edge[3].push_back(5); Edge[4].push_back(5); int N=6; solve(N); cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl; for(int i=0;i<N;i++) cout<<Low[i]<<" "; cout<<endl; for(int i=0;i<N;i++) { for(int j=0;j<Component[i].size();j++) cout<<Component[i][j]; cout<<endl; } return 0; }
这个程序的运行过程和上图中表述的有些不同,他是先遍历到了1 2 4 6 3 5
Reference : 以上基本上是全文摘抄自
http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/
http://www.notonlysuccess.com/?p=181
两篇总结都不错。。这里只是做一个回顾。。
转载来自:http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/09/26/127797.aspx