本题适合初一以上数学爱好者解答
问题：
若 $abc = -1$ 且 $dfrac{a^2}{c} + dfrac{b}{c^2} = 1$，求 $ab^5 + bc^5 + ca^5$ 的值。
解答一：
考虑消元，比如消去 $a$： $$frac{a^2}{c} + frac{b}{c^2} = 1$$ $$Rightarrow frac{1}{b^2c^3} + frac{b}{c^2} = 1$$ $$Rightarrow 1 + b^3c = b^2c^3.$$ 再来考虑待求的代数式：$$ab^5 + bc^5 + ca^5 = -frac{b^5}{bc} + bc^5 - frac{1}{b^5c^4}$$ $$= frac{-b^9c^3 + b^6c^9 - 1}{b^5c^4}$$ $$= frac{-b^9c^3 + left(1 + b^3c ight)^3 - 1}{b^5c^4}$$ $$= frac{3cdot(b^3c + 1)}{b^2c^3} = 3.$$
解答二：
考虑辅助元，令 $a = -dfrac{x}{y}$，$b = -dfrac{y}{z}$，$c = -dfrac{z}{x}$.
由已知可得 $$-frac{x^3}{y^2z} - frac{x^2y}{z^3} = 1 Rightarrow x^3z^2 + x^2y^3 + y^2z^3 = 0.$$ 所求代数式为 $$ab^5 + bc^5 + ca^5 = frac{xy^4}{z^5} + frac{yz^4}{x^5} + frac{zx^4}{y^5}$$ $$= frac{x^6y^9 + y^6z^9 + z^6x^9}{x^5y^5z^5} = frac{left(x^3z^2 ight)^3 + left(y^3x^2 ight)^3 + left(z^3y^2 ight)^3}{x^5y^5z^5}$$ $$= frac{3cdot x^3z^2cdot y^3x^2 cdot z^3y^2}{x^3z^2 cdot y^3x^2 cdot z^3y^2} = 3.$$ 最后一步使用了以下事实：
若 $a + b + c = 0$，则 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
作者微信：zhaoyin0506