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【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）

摘要：
顶点vi的退出度为2，即i线上的数字之和。下面的左图是有向网络图，右图是其邻接矩阵。因此，找到数组和链表相结合的存储方法称为邻接列表。边缘表节点由两个字段组成：adjvex和next。

一、图的存储结构

1.1 邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第1张

看一个实例，下图左就是一个无向图。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第2张

从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij= aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。

（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；

（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；

（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；

而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第3张

这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第4张

那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <curses.h>
typedefcharVertexType; //顶点类型应由用户定义
typedefintEdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
#define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
typedefstruct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
intnumVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
//定位
intlocates(Graph *g, charch)
{
inti = 0;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
if(g->vexs[i] == ch)
{
break;
}
}
if(i >= g->numVertexes)
{
return-1;
}
returni;
}
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
voidCreateGraph(Graph *g)
{
inti, j, k, w;
printf("输入顶点数和边数: ");
scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
#ifdef DEBUG
printf("%d %d ", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == ' ')
{
g->vexs[i] = getchar();
}
}
#ifdef DEBUG
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("%c ", g->vexs[i]);
}
printf(" ");
#endif
for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
{
for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
{
g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
charp, q;
printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值: ");
p = getchar();
while(p == ' ')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == ' ')
{
q = getchar();
}
scanf("%d", &w);
intm = -1;
intn = -1;
m = locates(g, p);
n = locates(g, q);
if(n == -1 || m == -1)
{
fprintf(stderr, "there is no this vertex. ");
return;
}
//getchar();
g->arc[m][n] = w;
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称
}
}
//打印图
voidprintGraph(Graph g)
{
inti, j;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
printf("%d ", g.arc[i][j]);
}
printf(" ");
}
}
intmain(intargc, char**argv)
{
Graph g;
//邻接矩阵创建图
CreateGraph(&g);
printGraph(g);
return0;
}

从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n2+ e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。

1.2 邻接表

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

邻接表的处理方法是这样的：

（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。

（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第5张

从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第6张

对于邻接表结构，图的建立代码如下。

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/* 邻接表表示的图结构 */
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define DEBUG
#define MAXVEX 1000 //最大顶点数
typedefcharVertexType; //顶点类型应由用户定义
typedefintEdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
typedefstructEdgeNode //边表结点
{
intadjvex; //邻接点域，存储该顶点对应的下标
EdgeType weigth; //用于存储权值，对于非网图可以不需要
structEdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedefstructVertexNode //顶点表结构
{
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge; //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedefstruct
{
AdjList adjList;
intnumVertexes, numEdges; //图中当前顶点数和边数
}GraphList;
intLocate(GraphList *g, charch)
{
inti;
for(i = 0; i < MAXVEX; i++)
{
if(ch == g->adjList[i].data)
{
break;
}
}
if(i >= MAXVEX)
{
fprintf(stderr,"there is no vertex. ");
return-1;
}
returni;
}
//建立图的邻接表结构
voidCreateGraph(GraphList *g)
{
inti, j, k;
EdgeNode *e;
EdgeNode *f;
printf("输入顶点数和边数: ");
scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);
#ifdef DEBUG
printf("%d,%d ", g->numVertexes, g->numEdges);
#endif
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("请输入顶点%d: ", i);
g->adjList[i].data = getchar(); //输入顶点信息
g->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空表
while(g->adjList[i].data == ' ')
{
g->adjList[i].data = getchar();
}
}
//建立边表
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号: ");
charp, q;
p = getchar();
while(p == ' ')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == ' ')
{
q = getchar();
}
intm, n;
m = Locate(g, p);
n = Locate(g, q);
if(m == -1 || n == -1)
{
return;
}
#ifdef DEBUG
printf("p = %c ", p);
printf("q = %c ", q);
printf("m = %d ", m);
printf("n = %d ", n);
#endif
//向内存申请空间，生成边表结点
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error. ");
return;
}
//邻接序号为j
e->adjvex = n;
//将e指针指向当前顶点指向的结构
e->next = g->adjList[m].firstedge;
//将当前顶点的指针指向e
g->adjList[m].firstedge = e;
f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(f == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error. ");
return;
}
f->adjvex = m;
f->next = g->adjList[n].firstedge;
g->adjList[n].firstedge = f;
}
}
voidprintGraph(GraphList *g)
{
inti = 0;
#ifdef DEBUG
printf("printGraph() start. ");
#endif
while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)
{
printf("顶点:%c ", g->adjList[i].data);
EdgeNode *e = NULL;
e = g->adjList[i].firstedge;
while(e != NULL)
{
printf("%d ", e->adjvex);
e = e->next;
}
i++;
printf(" ");
}
}
intmain(intargc, char**argv)
{
GraphList g;
CreateGraph(&g);
printGraph(&g);
return0;
}

对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。

本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

1.3 十字链表

对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

重新定义顶点表结点结构，如下所示。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第7张

其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

重新定义边表结构，如下所示。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第8张

其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。

比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。

【转载】数据结构之图（存储结构、遍历）第9张

重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。

十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。

而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。

这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。

二、图的遍历

图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。

对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。

2.1 深度优先遍历

深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。

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#define MAXVEX 100 //最大顶点数
typedefintBoolean; //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSE
Boolean visited[MAXVEX];//访问标志数组
#define TRUE 1
#define FALSE 0
//邻接矩阵的深度优先递归算法
voidDFS(Graph g, inti)
{
intj;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印顶点，也可以其他操作
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{
DFS(g, j); //对为访问的邻接顶点递归调用
}
}
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
voidDFSTraverse(Graph g)
{
inti;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE; //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i]) //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
{
DFS(g,i);
}
}
}

如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。

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//邻接表的深度递归算法
voidDFS(GraphList g, inti)
{
EdgeNode *p;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g->adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作
p = g->adjList[i].firstedge;
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
DFS(g, p->adjvex); //对访问的邻接顶点递归调用
}
p = p->next;
}
}
//邻接表的深度遍历操作
voidDFSTraverse(GraphList g)
{
inti;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
DFS(g, i);
}
}
}

对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

2.2 广度优先遍历

广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。

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//邻接矩阵的广度遍历算法
voidBFSTraverse(Graph g)
{
inti, j;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
{
if(!visited[i]) //若是未访问过
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i); //将此结点入队列
while(!QueueEmpty(q)) //将队中元素出队列，赋值给
{
intm;
DeQueue(&q, &m);
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
//判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[j]);
EnQueue(&q, j);
}
}
}
}
}
} <span style="line-height:2;font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;"></span>
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对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。

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//邻接表的广度遍历算法
voidBFSTraverse(GraphList g)
{
inti;
EdgeNode *p;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i);
while(!QueueEmpty(q))
{
intm;
DeQueue(&q, &m);
p = g.adjList[m].firstedge; 找到当前顶点边表链表头指针
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
visited[p->adjvex] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
EnQueue(&q, p->adjvex);
}
p = p->next;
}
}
}
}
}<span style="font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;line-height:1.5;"> </span>
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对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。


参考：《大话数据结构》

标签：#邻接表#邻接矩阵#前序遍历#算法与数据结构#遍历#数据结构#printf#getchar#指针 | 浏览：212 | 发布日期：

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　　C++的auto_ptr所做的事情，就是动态分配对象以及当对象不再需要时自动执行清理，该智能指针在C++11中已经被弃用，转而由unique_ptr替代，那这次使用和实现，就具体讲一下auto_ptr被弃用的原因，（编译平台：Linux centos 7.0　编译器：gcc 4.8.5 ) 　　首先使用std::auto_ptr时，需要#include...

（八）golang--复杂类型之指针

首先我们要明确：（1）基本数据类型：变量存的就是值，也叫值类型； （2）获取变量的地址，用&，例如var num int，获取num的地址：&num； （3）指针类型：变量存的是一个地址，这个地址指向的空间存的才是值，例如var ptr *int = &num； （4）获取指针类型所指向的值，使用*，例如var *ptr int，使...

Linux网络编程——进程池实现过程详解（2）

进程池功能升级： send_recv_syn同步机制 自定义设置函数recvCycle，确保双方收发机制正常 客户端中显示下载进度 time/slice两种方法 设置异常情况 客户端在下载中突然断开，原先的服务端会一直死循环打印 服务器突然断开，客户端全部死循环 服务器断开后，再次执行同一端口会出现异常 服务器要升级，通知客户端有序退出 如果业务...

CString的GetBuffer用法，GetBuffer本质，GetBuffer常见问题解决方法 .

char *GetBuffer(n)当n大于0时，是为CString变量分配一个长度为n的字节数组，返回值是这个数组的地址当n等于0时，返回CString变量本身拥有的字符串数组的头ReleaseBuffer一般用在GetBuffer，因为在调用了GetBuffer后变量本身会给自己上锁，于是所有能改变自身值的函数都不能用（如果Left，Mid），要用Re...

redis学习（一）

一.redis简介 Redis是基于内存、可持久化的日志型、key-value高性能存储系统。关键字（Keys）是用来标识数据块。值（Values）是关联于关键字的实际值，可以是任何东西。有时候你会存储字符串，有时候是整数，还有时候你会存储序列化对象（使用JSON、XML等）。在大多数情况下，Redis会把值看做是一个字节序列，而不会关注它们实质上是什么。...

【数据结构】二叉树、普通树与森林的定义与应用

<body> 普通\(m\)叉树的性质（普通二叉树也满足） 各层的最大结点个数 \[第i层最多有m^{i-1}个结点，其中1\le i\le h \] 高度为h的\(m\)叉树最多结点个数 \[等比数列求和公式：\frac{m^h-1}{m-1} \] 具有\(n\)个结点的\(m\)叉树至少有多高 也就是说完全m叉树的...

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