学校门口，四位手机尾号取快递。问：设有 (n) 个包裹，则存在两个包裹号码（收件人手机尾号，假设均匀分布）相同的概率 (P(n)) 是多少？
答曰：手机尾号一共有 (10^4=10000) 个，所以 ( P(n)=frac{A_{10000}^n}{(10000)^n} ), 其中 (A_n^r) 为排列数。
求出表达式非常简单，然而计算具体值时却遇到了麻烦：分子和分母都太大了，IEEE 754 浮点数受不了了，直接扔给我个 Infinity.
怎么办呢？把排列数展开，取对数，乘除变加减：
( log{P(n)} )
( = log{frac{A_{10000}^n}{(10000)^n}} )
( =log{A_{10000}^n}-nlog{10^4} )
( =log{10^4(10^4-1)cdots(10^4-n+1)}-4nlog{10} )
( =log{10^4}+log{(10^4-1)}+cdots+log{(10^4-n+1)}-4nlog{10} )
不想这么麻烦的话，也有很精确的阶乘近似公式可用（这里就不限于整数了）：
( left{egin{matrix} n! = Gamma(n+1) \ lnGamma(z) approx frac{1}{2} left[ln(2pi) - ln z ight] + zleft[lnleft(z + frac{1}{12z - frac{1}{10z}} ight) - 1 ight] end{matrix} ight. )
总之，最后能算出来具体的数。下面列出 n 取某些特殊值时的概率：
| n | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| P(n) | 2% | 8% | 16% | 27% | 39% | 51% | 62% | 72% | 80% | 87% |
([20, 200]) 区间内 (y=P(x)) 的函数图像如下（只有 (x) 等于整数的点有实际意义）：
看起来有点反直觉：重复的概率怎么这么大？确实这么大，只要手机尾号是均匀分布的。
不过，自己的号跟某个人的号一样（存在某个人跟自己同号）的概率并不大：
所以，重号的概率不小，但自己碰上的概率就很小了。（不过那大得吓人的重号概率还是很反直觉……）