用实数域的闭区间套定理证明确界原理

摘要:
使用实数域中的闭区间集定理来证明实数域中上确界定理_{1}inA,b_{1}InB()因为b是A的所有上界的集合,我们可以看到A_{1}<b_{1}()检查区间[A{1},b_{1}]的中点c。如果cinA,设a{2}=c()否则,c必须属于B,设B{2}=、,可以建立闭合区间[xi,x],并且可以继续上述过程$

闭区间套:
(设[a_{n},b_{n}]为实数域内的闭区间,nin N^+,且a_{n}supset a_{n+1})
(lim_{n oinfty}(a_{n}-b{n})=0)
(则,存在唯一一个实数xiin 所有闭区间[a_{n},b_{n}])

确界定理:设A为实数域内数集,且有上界(下界),则必有上确界(下确界)。

用实数域内的闭区间套定理证明确界定理在实数域内成立
证明:
(设A的全体上界的集合为B% )设a_{1}in A,b_{1}in B( )因为B为A的全体上界集合,可知a_{1}<b_{1}( )考察区间[a_{1},b_{1}]的中点c,若cin A,则设a_{2}=c( )否则,c必然属于B,设b_{2}=( )对[a_{2},b_{2}],重复上述步骤,得到[a_{3},b_{3}]( )以上步骤一直重复,得到闭区间套[a_{n},b_{n}]( )由闭区间套定理,存在唯一一个实数xi属于所有闭区间[a_{n},b_{n}].( )假设存在xin A,有x>xi,则可建立闭区间区间[xi,x],可以将上述过程继续下去,$

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