如何通俗理解泊松分布

摘要:
1 甜在心馒头店公司楼下有家馒头店:每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):均值为:按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖, 的时间不够卖:你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。2 老板的思考老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用&

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店:

如何通俗理解泊松分布第1张

每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?

老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):

\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\\hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

均值为:

\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5\\

按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,40\% 的时间不够卖:

\begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad销售\qquad&\quad备货五个\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\\hline \color{blue}{周二}& 7&\color{red}{不够} \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6&\color{red}{不够}\\\hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用 T 来表示:

如何通俗理解泊松分布第7张

然后把周一的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:

如何通俗理解泊松分布第8张

把 T 均分为四个时间段:

如何通俗理解泊松分布第10张

此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:

如何通俗理解泊松分布第11张

在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出):

如何通俗理解泊松分布第12张

T 内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是:

\binom{4}{3}p^3(1-p)^1\\

但是,如果把周二的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:

如何通俗理解泊松分布第15张

从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单,把 T 分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:

如何通俗理解泊松分布第17张

这样,T 内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面):

\binom{20}{7}p^7(1-p)^{13}\\

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成 n 份:

\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

越细越好,用极限来表示:

\lim_{n\to\infty}\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

更抽象一点,T 时刻内卖出 k 个馒头的概率为:

\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\

3 p 的计算

“那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率 p 怎么求?”

在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:

E(X)=np=\mu\\

那么:

p=\frac{\mu}{n}\\

4 泊松分布

有了 p=\frac{\mu}{n}了之后,就有:

\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\

我们来算一下这个极限:

\begin{align}\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n\end{align}\\

其中:

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1\\

 

\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}\\

所以:

\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在 T 时间内卖出 k 个馒头的概率为:

P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

一般来说,我们会换一个符号,让 \mu=\lambda ,所以:

P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉,不知道 \mu 啊?

没关系,刚才不是计算了样本均值:

\overline{X}=5\\

可以用它来近似:

\overline{X}\approx\mu\\

于是:

P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}\\

画出概率密度函数的曲线就是:

如何通俗理解泊松分布第45张

可以看到,如果每天准备8个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来:

如何通俗理解泊松分布第46张

这样 93\% 的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!”

6 二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的 p 很小的时候,两者比较接近:

如何通俗理解泊松分布第49张

7 总结

这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

顺着这个故事我们还可以讲解:如何理解指数分布?

文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何理解泊松分布?

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