连分数与丢番图方程简介

在数学中，连分数 即如下表达式：

$$x=a_0+frac{1}{a_1+frac{1}{a_2+frac{1}{ddots}}}=[a_0;a_1,a_2,cdots]\, ext{ 其中，}a_iin mathbb{Z},iin mathbb{N}$$

连分数具有如下性质：

• 有理数的连分数表示只有有限的项，并且当没有尾随的 1 时，其表示方法唯一；无理数的连分数表示是唯一的。
• 勒让德定理：二次无理数 (y) 的连分数表示会产生循环，即 (y=[a_0;overline{a_1,a_2,cdots,a_2,a_1,2a_0}],a_0=[\,y\,])。
• 数 (x) 的截断连分数表示是在特定意义上最佳可能的有理数逼近。

表 1：求 3.245 的连分数

这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致 数值灾难。为了得到精确的结果，需要用 欧几里得 GCD 算法 的变体作为替代。

1、数值灾难

由于浮点数被用以在计算机中对实数进行近似表示，因此浮点运算与数学运算有所差异，导致无论是 Python、Matlab 还是经典的 C 语言，都无法通过上面的方法求出 3.245 的连分数，但有一个例外，那就是 Lisp。Lisp 不会自动求出 3245/1000 的结果，因此计算过程变成了分数的计算而非浮点运算，可以得到精确结果。

Lisp 的求法

(defun frac (n)
	(write (floor n))(format t " ")
	(setq a (- n (floor n))) 
	(if (/= a 0) (frac (/ 1 a)))
)(frac (/ 3245 1000))

3 4 12 4

欧几里得 GCD 算法（辗转相除法）

def GCD(a,b,ans=[]): # 实数 a/b 的连分数
	if b:	return GCD(b, a%b, ans+[int(a/b)])
	else:	return ans
print(GCD(3245,1000))

[3, 4, 12, 4]

2、二次无理数的连分数

对于无理数的连分数， Lisp 或者 GSD 算法都有些无能为力。下面着重讨论对无理数 (sqrt{n}) 的连分数展开技巧 ^[1]：

表 2：求 (sqrt{7}) 的连分数(([\,sqrt{7}\,]=2))

将上述算法一般化：设 (k=[\,sqrt{n}\,])，并令 (n_c=n-c^2)。

其中，若求得 (frac{i_{l-1}+i_l}{q})，则取满足 (i_{l+1}leq k) 的最大值，使 (i_l+i_{l+1}) 能被 (n_l/q) 整除。

如果考虑将 (frac{i+j}{q}=a Rightarrow i-frac{a}{q}-j) 的形式，有：

其中，(frac{n_{i_1}}{n_k}=q_1,\,frac{n_{i_2}}{q_1}=q_2,cdots)

3、渐近分数列

如下表所列，渐近分数常用于无理数的逼近。

表 3：连分数与渐近分数列

数学上可以证明：由连分数得到的渐近分数，其值是在分子或分母小于下一个渐近分数的分数中，最接近精确值的近似值。

对渐进分数列 (\{frac{p_i}{q_i},\,iin mathbb{N}^+\})，有 (frac{p_1}{q_1}=frac{a_0}{1},frac{p_1}{q_1}=frac{a_1a_0+1}{a_1})，其递推式为：

$$egin{bmatrix}p_{i+1}\q_{i+1}end{bmatrix}=egin{bmatrix}p_i&p_{i-1}\q_i&q_{i-1}end{bmatrix}egin{bmatrix}a_{i}\1end{bmatrix}$$

显然，渐近分数列的奇数项小于原值，偶数项大于原值。

丢番图方程 又名整系数多项式方程，其变量与系数均为整数。若一个丢番图方程具有以下的形式：

则称此二元二次不定方程为佩尔方程。

1、佩尔方程的解

• 若 (n) 是完全平方数，佩尔方程只有平凡解 ((pm 1, 0))。
• 对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解，而这些解可由 (sqrt{n}) 的连分数求出。

设 (\{frac{p_i}{q_i}\}) 是 (sqrt{n}) 的的渐近分数列，则存在 (i) 使得 ((p_i,q_i)) 为佩尔方程的解。取 (min i) 对应的 ((p_i,q_i)) 作为佩尔方程的基本解（最小解），记作((x_1,y_1))，则全部的非平凡解解 (\{x,y\}) 可表示为 (x_i + y_isqrt n = (x_1 + y_1sqrt n)^i)，或由递推关系式求得：

$$egin{bmatrix}x_{i+1}\y_{i+1}end{bmatrix}=egin{bmatrix}x_1&ny_1\y_1&x_1end{bmatrix}egin{bmatrix}x_{i}\y_{i}end{bmatrix}$$

规律：记 (sqrt{n}) 的连分数循环节长度为 (l)。当 (l) 为偶数，((p_l,q_l)) 即是基本解；当 (l) 为奇数，((p_{2l},q_{2l})) 即是基本解。

Example：求 (x^2 - 7y^2= 1) 的解

由 (sqrt{7}) 的渐近分数列 (\{frac{p_i}{q_i}\}=frac{2}{1},frac{3}{1},frac{5}{2},frac{8}{3},cdots)，求得 (x^2 - 7y^2= 1) 的基本解 ((8,3))，其所有非平凡解 $${x,y}=(8,3),(127,48),(2024,765),(32257,12192),(514088,194307),(8193151,3096720),(130576328,49353213),cdots$$

2、Diophantine Equation^[2]

题意：求最小的非完全平方数 (nin(1,1000]) 使佩尔方程 (x^2 - ny^2= 1) 的基本解 (x_1) 最大。

from math import *
def iqj(i0,q0,j0,d):
	i = j0
	q = (d - j0*j0)//q0
	max_num = j0 + floor(sqrt(d))
	j = max([x for x in range(max_num,0,-1) if x % q == 0]) - j0
	a = (i + j)//q
	return i,q,j,a
def pell (d,h,k):
	if h*h - d*k*k == 1:	return True
	else:		        return False 
def frac(d):
	i0 = 0
	q0 = 1
	j0 = floor(sqrt(d))
	a0 = (i0 + j0)//q0
	h0 = a0
	k0 = 1
	if pell(d,h0,k0):	return h0
	else:
		i0,q0,j0,a1=iqj(i0,q0,j0,d)
		h1 = a1*a0 + 1
		k1 = a1
		while(not pell(d,h1,k1)):
			i0,q0,j0,a=iqj(i0,q0,j0,d)
			h = a*h1 + h0
			k = a*k1 + k0
			h0,k0 = h1,k1
			h1,k1 = h,k
		return h1
mh = 0
ans = 0
for d in [i+1 for i in range(1000) if sqrt(i+1)!=int(sqrt(i+1))]:
	h = frac(d)
	if h > mh:
		mh = h
		ans = d
print(ans)

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