数学基础系列(三)----第一中值定理、微积分基本定理、牛莱公式、泰勒公式

摘要:
如果F是连续函数f在区间[a,b]上的一个原函数,则:$int_{a}^{b}fdx=F-F$解释:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量几何解释:可得:$f-f=sumdy$,由于$dy={f}'dx$,所以$f-f=sumf'dx=int_{a}^{b}f'dx$例题:求解$int_{0}^{frac{pi}{2}}dx$定理3:有$finC[a,b]$,且$F'=f$例题:计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积四、泰勒公式简单来讲就是用一个多项式函数去无限逼近一个给定的函数,注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

一、第一中值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点$xi $,使得$int_{a}^{b}f(x)dx=f(xi )(b-a).(aleqslant xi leqslant b)$

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二、微积分基本定理

积分上限函数:函数f(x)在区间[a,b]上连续,对于定积分$int_{a}^{x}f(x)dx$每一个取值的x都有一个对应的定积分值。记作:$Phi (x)=int_{a}^{x}f(t)dt$

定理1:

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定理2(原函数存在定理):

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三、牛顿—莱布尼兹公式

牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本公式,它揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则:$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

解释:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量

几何解释:

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可得:$f(b)-f(a)=sum dy$,由于$dy={f}'(x)dx$,所以$f(b)-f(a)=sum f'(x)dx=int_{a}^{b}f'(x)dx$

例题:求解$int_{0}^{frac{pi }{2}}(2cos x+sin x-1)dx$

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定理3(微积分基本公式)

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有$f(x)in C[a,b]$,且$F'(x)=f(x)$

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例题:计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积

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四、泰勒公式

简单来讲就是用一个多项式函数去无限逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像,如sin x,cos x等函数值的近似计算),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

首先回忆微分

若$f'(x_{0})$存在,在$x_{0}$附近有$f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})approx f'(x_{0})Delta x$。

由于$Delta x=x-x_{0}$,可以得到$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$,

近似可得$f(x)approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$。

接着再来引出泰勒公式,如果说我们想要以直线来近似的代替一个曲线,如下图所示

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只用一阶导数看起来有点不准呀,如上图所示,能不能在利用一些呢?答案肯定是可以的,一阶导数只帮我们定位了下一个点是上升还是下降,然后对之后的趋势就很难把控了。

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那如何定位的更准确一些呢?如果我们再把二阶导数利用上呢?

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我们可以发现,这样的方式存在精确度不够高,误差不能估计等不足之处。所以,主要的问题就是寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x),从而使得误差R(x)=f(x)-P(x)可估计。

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分析:如果说要f(x)≈P(x),且近似程度要好,Pn(x)应该满足什么条件?

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由上图就可以引出泰勒公式了

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$P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+cdots +frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$称为f(x)在点x0关于(x-x0)的n阶泰勒多项式,这个式子只能说是得到的值能够无限的逼近真正的函数值,但是其中还存在一个误差项R(x),也就是说f(x)=R(x)+P(x),这里的误差项称为余项。对于一般的机器学习、深度学习来说,余项本身也用不上在加上其比较复杂,所以在这里就不作解释了。

五、泰勒公式详细解释

多项式逼近如下图所示

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公式里面的阶数是什么意思呢?

阶数越高增长速度越快。观察可发现,越高次项在越偏右侧影响越大。对于一个复杂函数,给我们的感觉是在当前点,低阶项能更好的描述当前点附近,对于之后的走势就越来越依靠高阶的了。

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公式里面的阶乘是什么意思呢?

如果把9次的和2次的直接放在一起,那2次的就直接不用玩了呀,它们之间的差距太大了。但是在开始的时候应该是2次的效果更好,之后才是慢慢轮到9次的。

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有了阶乘(!)之后,就帮助我们解决了这样的问题

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如下图所示,使用不同阶的多项式函数来逼近$y=sin x$函数

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可以看到,阶数越高的函数越能拟合$y=sin x$函数。

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