随机信号的傅里叶分析

随机过程可以作为离散时间信号的模型。

通常，一个随机过程是一族带有序号的随机变量：

..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...

上面的每一个x[i]都是一个随机变量，可以分别具有不同的概率分布（连续的或离散的）。

这样，x的均值是时间的函数；自相关是一个二维序列（和起点以及时间差都有关）。

然而，对于平稳过程，我们有：

p(x_n+k,n+k,x_m+k,m+k)=p(x_n,n,x_m,m)

即x[n]和x[m]的联合分布只和m和n之间的差有关。

当m=n时，上式成为p(x_n+k,n+k)=p(x_n,n)

也就是说，一个平稳过程的概率密度函数PDF在任意时间点n都是相同的（time independent）。

于是，平稳过程的集合平均E[x_n]是一个常数，自相关只与时间差有关。

反过来说，如果一个随机过程的均值/方差为常数，自相关只与时间差有关，我们未必能确定其概率分布是否时不变；但我们仍称其为广义平稳的。

在实用上，我们只能得到有限个有限长的序列。直觉上，对于平稳过程，单个序列很长一段的幅值分布近似等于单一概率密度：

时间平均等于集合平均的随机过程称为遍历过程。

序列的相关或协方差会使用序列的共轭参与计算，例如时间自相关<x_n+mx_m^*>=lim(x_n+mx_m^*)/L。

此处使用共轭参与计算是为了能够和方差在数学形式上保持一致：计算方差所使用的|x_n|²=x_nx_n^*。

相关函数的傅里叶变换称为信号的功率（密度）谱。这个问题可以这样理解：

1. 当随机信号隐含着某种频率成分时，对该信号做自相关将会在（和这个频率成分对应的）周期处形成峰值。

2. 如果直接从加窗后的信号的DFT计算功率密度，积分式子包含|H(e^jω)|²=H(e^jω)H^*e(^jω)，按傅立叶变换性质，该频域乘积在时域等于H(e^jω)和H^*e(^jω)反变换的卷积，再考虑H(e^jω)和H^*e(^jω)的反变换的关系，最终得到的式子在时域就是非周期自相关。

周期图法是一种信号功率谱密度估计方法。离散随机序列x[n]加窗信号的离散傅里叶变换X具有周期性，因而其功率谱I(ω)也具有周期性，常称为周期图（一说是因为将x[n]看成周期延拓信号）。

当窗函数长度增加时，E{I(ω)}更接近于随机信号实际功率谱P_xx(ω)，然而相邻频率点间的起伏也将加剧。可以使用拆分为多段求功率谱然后平均的方法来抑制这个问题，附带的效果是泄漏（or降低分辨率？）。

功率谱分析可用于信号检测，发现采样信号中隐藏的周期性，比如较大的噪声序列中隐藏着较小的周期信号。

>> n=[0:1:1023];

>> e=unifrnd(-1.732, 1.732, 1, 1024); % 均匀分布随机信号，-1.732<e<1.732

>> xn=0.5*cos(2*3.14*n/21) + e;

>> I=periodogram(xn1,[],1024); % default window (rectangle)

>> plot(I);

在使用平均周期图时，对信号作截断将引起信号突变，从而带来不希望的高频分量，这个高频分量无法通过平均消除或减弱。所以信号窗长度相对于信号变化必须足够长。

LTI系统对随机信号的效果

（下述分析实际上不局限于随机信号）

1. 输入输出的互相关是单位脉冲响应与输入自相关的卷积。

x=[1 2 3];

h=[4 5 6];

y=conv(x,h); % y=[4 13 28 27 18]

phixy1=xcorr(y,x); % xcorr计算E[x(n+m)·y(n)]，但奥本海默说φ_xy[m]=E[x(n)·y(n+m)]

% x长度为3，y长度为5，x后端补零

% phixy1=[-0.0000 -0.0000 12.0000 47.0000 114.0000 150.0000 136.0000 63.0000 18.0000]

% Taxis =[ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ]

phixx=xcorr(x);

% phixx=[3.0000 8.0000 14.0000 8.0000 3.0000]

% Taxis=[ -2 -1 0 1 2 ]

phixy2=conv(h,phixx);

% phixy2=conv(h,phixx);

% phixy2=[12.0000 47.0000 114.0000 150.0000 136.0000 63.0000 18.0000]

% Taxis =[ -2 -1 0 1 2 3 4 ]

% Look, phixy1=phixy2.