1 (15 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $mathcal{H}$ 中一闭凸子集, [ f(v)=frac{1}{2}||v||^2-l(v)quad(forall vin C). ] 求证:
(1) 对任意 $mathcal{H}$ 上线性有界泛函 $g$, $exists u_0in mathcal{H}$, 使得 $f(u_0)=g(u_0)$;
(2)$exists u_1in C$, 使得 [ f(u_2)=inf_{vin C}f(v); ]
(3)讨论 $g, u_0, u_1$ 之间的关系.
2(15 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T:mathcal{H} o mathcal{H}$ 是线性算子且满足 [ (Tx,y)=(x,Ty)quad (forall x,yin mathcal{H}). ] 求证:
(1)$Tin mathcal{L}(mathcal{H})$;
(2)$T^*=T$, 此时称 $T$ 为自共轭算子;
(3)若 $overline{R(A)}=mathcal{H}$, 则对 $forall yin R(A)$, 方程 [ Ax=y ] 存在唯一解.
3(15 分) 证明:
(1)若 $pleq q$, 则 $l^psubset l^q$;
(2)$l^infty$ 不可分;
(3)$l^1$ 不自反.
4(10 分) 设 $varphiin C[0,1]$, $T: L^2[0,1] o L^2[0,1]$ 是由 [ (Tf)(x)=varphi(x)int_0^1varphi(t)f(t) dtquad(forall fin L^2[0,1]) ] 给出的线性算子. 求证:
(1)$T$ 是自共轭算子 (定义见题2);
(2)$exists lambdageq 0$, 使得 $T^2=lambda T$, 由此求出 $T$ 的谱半径 $r_sigma(T)$.
5(10 分) 设 $mathcal{X}$ 是自反的 Banach 空间, $Asubset mathcal{X}$. 证明:
(1)$A$ 弱列紧的充分必要条件是 $A$ 有界;
(2) 若 $A$ 弱列紧的, 则 $A$ 的凸包 [ co (A) =left{ sum_{i=1}^nlambda_ix_i; sum_{i=1}^n lambda_i=1, lambda_igeq 0, x_iin A, i=1,2,cdots, n, nin mathbb{N} ight} ] 也是弱列紧的.
6(10 分) 证明:
(1)在 Hilbert 空间 $mathcal{H}$ 中, $x_n o x_0$ 的充分必要条件是 [ ||x_n|| o ||x_0||,quad x_n ightharpoonup x_0; ]
(2)在 $L^2[0,1]$ 中, $f_n o f$ 的充分必要条件是 [ f_n ightharpoonup f,quad f_n^2stackrel{*}{ ightharpoonup} f^2. ]
7(8 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $mathcal{H}_0$ 是 $mathcal{H}$ 的闭线性子空间, $f_0$ 是 $mathcal{H}_0$ 上的线性有界泛函. 证明: $exists mathcal{H}$ 上的线性有界泛函 $f$, 使得 [ f(x)=f_0(x)quad(forall xin mathcal{H}_0), ] [ ||f||=||f_0||. ]
8(8 分) 设 $mathcal{X}, mathcal{Y}$ 是 Banach 空间, $T$ 是 $mathcal{X}$ 到 $mathcal{Y}$ 的线性算子, 又设对 $forall gin mathcal{Y}^*$, $g(Tx)$ 是 $mathcal{X}$ 上的线性有界泛函, 求证: $T$ 是连续的.
9(9 分) 设 $C[a,b]$ 是连续函数空间, 赋以最大值范数 [ ||x||_infty =sup_{tin [a,b]} |x(t)|quad (forall xin C[a,b]). ] 设 ${x_n}subset C[a,b]$ $xin C[a,b]$. 求证: $x_n ightharpoonup x$ 的充分必要条件是 [ lim_{n oinfty}x_n(t)=x(t),quad forall tin [a,b]cap mathbb{Q}, ] 且 [ sup_{ngeq 1}||x_n||_infty<infty. ]
应老师要求, 出了一份泛函分析期末试卷, 主要针对张恭庆泛函分析第二章. 自己写完后也感觉太难了. 不过还是保留了做个纪念. 下次修改后再发终结版.