图的最小环问题

1. 最小环定义：

• 最小环是指在一个图中，有n个节点构成的边权和最小的环(n>=3)。
• 一般来说,最小环分为有向图最小环和无向图最小环。

2. 最小环算法

1. Dijkstra

   解法

   • 设u和v之间有一条边长为w的边，dis(u,v)表示删除u和v之间的连边之后，u和v之间的最短路。
   • 那么最小环是枚举每一条边，并删除此条边后，以其中一个端点为起点跑一边单源最短路最小环的值为：min(dis(u,v)+w)
   • 时间效率为：O(m∗n∗log n) ,对稠密图来说边数 m 趋近 n² , 所以时间效率为 O(n³log n)。

2. Floyd

   解法

   • 记原图u,v之间边权为mp(u,v),floyd算法在外层循环到第k个点时(还没开始第k次循环),最短路数组dis中，dis(u,v)表示的是从u到v且仅经过编号[1,k)区间中的点的最短路。
   • 最小环至少有三个顶点，设其中编号最大的顶点编号为w，环上与w相邻两侧的两个点为u,v,则在最外层循环枚举到k=w时，该环的长度为dis(u,v)+mp(v,w)+mp(w,u)，所以在循环时候i,j只需枚举到`i更新答案即可。
   • 复杂度：O(n³)

来看一道用floyd的例题：

Description

• 杭州有N个景区，景区之间有一些双向的路来连接，现在8600想找一条旅游路线，这个路线从A点出发并且最后回到A点，假设经过的路线为V1,V2,....VK,V1,那么必须满足K>2 ,就是说至除了出发点以外至少要经过2个其他不同的景区，而且不能重复经过同一个景区。现在8600需要你帮他找一条这样的路线，并且花费越少越好。

Input

• 第一行是2个整数N和M(N <= 100, M <= 1000)，代表景区的个数和道路的条数。
• 接下来的M行里，每行包括3个整数a,b,c.代表a和b之间有一条通路，并且需要花费c元(c <= 100)。

Output

• 对于每个测试实例，如果能找到这样一条路线的话，输出花费的最小值。如果找不到的话，输出It's impossible.。

Sample Input

3 3
1 2 1
2 3 1
1 3 1
3 3
1 2 1
1 2 3
2 3 1

Sample Output

3
It's impossible.

Hint

• 有可能存在重边，保留权值最小那条。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define Inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100+5;
LL dis[maxn][maxn],mp[maxn][maxn]; //mp表示两点间的边权，dis表示两点间的最短路
int n, m;
void Init(){	//初始化数组
    for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n;j++) mp[i][j] = (i==j) ? 0 : Inf;
}  
int main(){
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
		Init();//多组数据注意初始化
		for (int i=0; i<m; i++){
	        int u, v; LL w; scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);//两个int相加可能爆int
	        if (w < mp[u][v])//处理重边，要求最短环,肯定保留权值小的
	            mp[v][u] = mp[u][v] = w;
	    }
	    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) dis[i][j] = mp[i][j];//初始化两点间的距离
	    LL ans = Inf;
	    for (int k=1; k<=n; k++){//枚举中间点
	        for (int i=1; i<k; i++)//枚举k的其中一个相邻点
	            for (int j=i+1; j<k; j++)//枚举k的另一相邻点
	                ans = min(ans, dis[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j]);//保证了i,j,k不是一条链
	        for (int i=1; i<=n; i++)//这里就是求个最短路了
	            for (int j=1; j<=n; j++)
	                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
	    }
	    if (ans == Inf)
	        printf("It's impossible.
");
	    else
	        printf("%lld
", ans);
	}
    return 0;
}