摘要：
左手和右手（直角）坐标系交叉乘法计算公式右手坐标系下交叉乘法公式基于右手坐标系，并满足以下条件：[vec{i}imesvec｛i｝=vec｛j｝imesvec{j｝=vec{k｝imesvec｛k｝=vec｛0｝][vec｛i｝timesvec｛j｝=-vc｛j}imesvec{i｝=vec{k｝][vec｛k}imesvec｛i}=-vc{k}timesvec{j｝=vec k｝｝]并将其设置为：[vec{v1｝=egin｛pmatrix｝vec｛i｝&vec｛j｝&vec｛k｝end｛pmatrix｝egin｛pmametrix｝x_1 y_1 z1 end｛dmatrix｝=x_1vec｛i｝+y1vec｛j｝+z1 vec｛k｝][vec｛v2｝=egin｛pmatrix｝vec｛i｝&vec｛j｝&vec｛k｝end｛pmametrix｝egin｝pmatrics｝x_ 2\y_2\z_2 end｛dmatrix｝=x_ 2vec｛｛i｝+y_2vec j｝+z_2 vec｛k｝]为：[vec{v1｝imesvec｛v2}=times][=egin｝y1&z_1x_2&y2&z_2端｛vmatrix｝=egin｛vmetrix｝vec｛i｝&vec｛k｝x_1&y1&z_1 x_2&y_2&z_2末端｛vm矩阵｝]下交叉乘法公式在左手坐标系中，并满足以下条件：[vec{i}imesvec｛i｝=vec｛j‘｝imesvec{j‘}=vec{k｝imesvec｛k｝=vec｛0｝][vec{i}imesvec{j'｝=-vec｛j’｝imesvec｛i}=-vec{k｝][vec｛j‘}imesvec{k}=-vc｛j｝][vec{j‘｝｝timesvec｛k｝=-vec{j‘}]，并将其设置为如下：[vec｛v1｝=egin｛pmatrix｝vec｛i｝&vec｛j‘｝&vec｛k｝end｛pmametrix｝egin｝pmatrix｝x1‘y1‘z1‘end｛dmatrix｝=x_1'向量｛i｝+y_1'向量{j'｝+z_1'向量｛k｝][vec｛v2｝=egin｛pmatrix｝向量{i｝和vec｛j｝&vec｛k｝end｛pmametrix｝egin｝pmatrics｝x_2'\y_2'\z_2'end｛dmatrix｝=x_2'向量{i｝+y_2'向量｛j'｝+z_2'向量{k｝]为：[vec v1｝imesvec｛v2}=times][=egin{vmatrix｝-矢量｛i｝&矢量｛j’｝&-矢量｛k｝x_1’&y_1’&z1‘x_2’&y_2’&z2’端｛vmatrix｝=-egin｛vmetrix｝vec｛i’&矢量｛j’｝&矢量｛k｝x1‘&y_1‘&z1’x 2‘&y_2‘&z2‘端｛vmatrix｝=egin｛vmetrix｝vec｛i｝&vec｛｝j｝&vec｛k｝x_1‘&-y1‘&z_1‘x_2‘&-y2‘&z_2‘end｛vmtrix｝]计算左手系统在左手系统下的坐标：[vec｛｛v_1｝imesvec｛v2｝=-egin｛vmattix｝vec i｝｝&vec j‘｝&vec｛k’｝\x_1‘&y1‘&z _1‘\x_2‘&y 2‘&z_2’end｛vmatrix｝｝]计算左手系下右手系的坐标：[vec{v_1}imesvec｛v2｝=egin｛vmatrix｝vec｛i｝&vec｛j｝&vec｛k｝x_1‘&-y1‘&z1‘x_2‘&-y2‘&z 2‘end｛vmetrix｝]左侧系统坐标和右侧系统坐标之间的关系[egin｛pmatrix｝x_ 1‘y1‘z1‘end｛pmatrix}=egin{pmatrix}e_1‘&-ee2&e3end｛pmatrix｝egin｛dmatrix}x_1‘y_1‘z1&0&1&0 0&0&1结束｛pmatrix｝开始｛pmametrix｝x_1 y_1 z_1end｛pmatrix｝=egin｛pmametrix｝x_1 \-y_1 \z_1end｝pmatrix｝，因此左手交叉乘法[vec｛v1｝imesvec｛v2｝=ecin｛vmatrix｝vec｛i｝&vec｛j｝&vec k｝x_ 1‘&-y1‘&z_1‘x_2‘&-y2‘&z 2‘2end x｝]
左右手（直角）坐标系叉乘计算公式
右手坐标系下叉乘公式
设右手坐标系基为({vec{i},vec{j},vec{k}})，并满足以下条件:
[vec{i} imesvec{i} =vec{j} imesvec{j} =vec{k} imesvec{k} =vec{0} ]
[vec{i} imesvec{j}=-vec{j} imesvec{i} =vec{k} ]
[vec{k} imesvec{i} =-vec{i} imesvec{k} =vec{j} ]
[vec{j} imesvec{k} =-vec{k} imesvec{j} =vec{i} ]
并设(vec{v_1},vec{v_2})如下：
[vec{v_1}=egin{pmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k}end{pmatrix}egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ z_1end{pmatrix}=x_1vec{i} + y_1vec{j} + z_1vec{k} ]
[vec{v_2}=egin{pmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k}end{pmatrix}egin{pmatrix}x_2 \ y_2 \ z_2end{pmatrix}=x_2vec{i} + y_2vec{j} + z_2vec{k} ]
则(vec{v_1} imes vec{v_2})为：
[vec{v_1} imes vec{v_2} =(x_1vec{i} + y_1vec{j} + z_1vec{k}) imes(x_2vec{i} + y_2vec{j} + z_2vec{k}) ]
[=egin{vmatrix}vec{j} imesvec{k} & vec{k} imesvec{i} & vec{i} imesvec{j} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2end{vmatrix} =egin{vmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2end{vmatrix} ]
左手坐标系下叉乘公式
设左手坐标系基为({vec{i},vec{j'},vec{k}})，其中(vec{j'}=-vec{j})，并满足以下条件:
[vec{i} imesvec{i} =vec{j'} imesvec{j'} =vec{k} imesvec{k} =vec{0} ]
[vec{i} imesvec{j'}=-vec{j'} imesvec{i} =-vec{k} ]
[vec{k} imesvec{i} =-vec{i} imesvec{k} =-vec{j'} ]
[vec{j'} imesvec{k} =-vec{k} imesvec{j'} =-vec{i} ]
并设(vec{v_1},vec{v_2})如下：
[vec{v_1}=egin{pmatrix}vec{i} & vec{j'} & vec{k}end{pmatrix}egin{pmatrix}x_1' \ y_1' \ z_1'end{pmatrix}=x_1'vec{i} + y_1'vec{j'} + z_1'vec{k} ]
[vec{v_2}=egin{pmatrix}vec{i} & vec{j'} & vec{k}end{pmatrix}egin{pmatrix}x_2' \ y_2' \ z_2'end{pmatrix}=x_2'vec{i} + y_2'vec{j'} + z_2'vec{k} ]
则(vec{v_1} imes vec{v_2})为：
[vec{v_1} imes vec{v_2} =(x_1'vec{i} + y_1'vec{j'} + z_1'vec{k}) imes(x_2'vec{i} + y_2'vec{j'} + z_2'vec{k}) ]
[=egin{vmatrix}-vec{i} & -vec{j'} & -vec{k} \ x_1' & y_1' & z_1' \ x_2' & y_2' & z_2'end{vmatrix}=-egin{vmatrix}vec{i} & vec{j'} & vec{k} \ x_1' & y_1' & z_1' \ x_2' & y_2' & z_2'end{vmatrix}=egin{vmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k} \ x_1' & -y_1' & z_1' \ x_2' & -y_2' & z_2'end{vmatrix} ]
左手系下计算左手系坐标：
[vec{v_1} imes vec{v_2} =-egin{vmatrix}vec{i} & vec{j'} & vec{k} \ x_1' & y_1' & z_1' \ x_2' & y_2' & z_2'end{vmatrix} ]
左手系下计算右手系坐标：
[vec{v_1} imes vec{v_2} =egin{vmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k} \ x_1' & -y_1' & z_1' \ x_2' & -y_2' & z_2'end{vmatrix} ]
左手系坐标与右手系坐标之间关系
[egin{pmatrix}x_1' \ y_1' \ z_1'end{pmatrix} =egin{pmatrix}e_1 & -e_2 & e_3end{pmatrix}egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ z_1end{pmatrix} =egin{pmatrix}1 & 0 & 0\0 & -1 & 0\0 & 0 & 1end{pmatrix}egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ z_1end{pmatrix} =egin{pmatrix}x_1 \ -y_1 \ z_1end{pmatrix} ]
同理，(egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ z_1end{pmatrix}=egin{pmatrix}x_1' \ -y_1' \ z_1'end{pmatrix})
从而，左手系叉乘法
[vec{v_1} imes vec{v_2} =egin{vmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k} \ x_1' & -y_1' & z_1' \ x_2' & -y_2' & z_2'end{vmatrix} =egin{vmatrix}vec{i} & vec{j} & vec{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2end{vmatrix} ]