梅森公式

摘要:
$P=frac{1}{Delta}sumlimits_{k=1}^np_kDelta_k$$P$:传递函数$n$:正向路径总数正向路径:从输入到输出,每个节点只通过一次。独立电路:$sumL_a=-G_1-G_2-G_3-G_1G_2$成对非接触电路:$ssumL_bL_c=G_1G_2+G_1G_3+G_2G_3+G_1G_2G_3$三个三个非接触电路;$sumL_dL_eL_f=-G_1G_2G_3$因此,流程图的特征公式$Delta=1+G_1+G_2+G_3+2G_1G_2+G_1G_3+G_2G_3+G_2G_3+2G_1G_3$每个正向路径和辅因子公式:$p_ 1=G_1G_2G_3K$,$Delta_1=1$$p_2=G_2G_3K$,$Delta_2=1+G_1$$p_3=G_1G_3K$;$Delta_3=1+G_2$$p_4=-G1G3K$,$Delta_4=1$因此传递函数为:$frac{C}{R}=frac{p_1Delta_1+p_2Delta_2+p_3Delta_3+p_4Delta_4}{Delta}$$=frac{G_2G_3K+G_1G_3K}{1+G_1+G_2+G3+2G_1G_3+G_2G_3+2G_1G_2G_3}$

$P=frac{1}{Delta}sumlimits_{k=1}^np_kDelta_k$

$P$:传递函数

$n$:前向通路总数

         前向通路:从输入到输出,每个节点只经过一次。

$Delta$:流图特征式,$1-sum L_a + sum L_bL_c - sum L_dL_eL_f + ldots$

                $sum La$:所有单独回路增益之和

                $sum LbLc$:两两不接触的回路增益之和

                $sum L_dL_eL_f$:三三不接触的回路增益之和

$p_k$:第k条前向通路增益

$Delta _k$:流图余因子式,等于流图特征式中除去与第k条前向通路增益相接触的回路增益项之后的余项

下面是一个例子。

梅森公式第1张

单独回路:$sum L_a = -G_1 - G_2 - G_3 - G_1G_2$

两两不接触回路(直接从上面的单独回路里挑选):$sum L_bL_c = G_1G_2 + G_1G_3 + G_2G_3 + G_1G_2G_3$

三三不接触回路:$sum L_dL_eL_f = -G_1G_2G_3$

于是流图特征式$Delta = 1+ G_1+G_2+G_3+2G_1G_2+G_1G_3+G_2G_3+2G_1G_2G_3$

各前向通路以及余因子式:

$p_1=G_1G_2G_3K$,$Delta _1 = 1$              (从$Delta$中删除包含有$p_1$各乘积项的因子即得到$Delta_1$)

$p_2=G_2G_3K$,     $Delta _2 = 1+G_1$

$p_3=G_1G_3K$,       $Delta_3=1+G_2$

$p_4=-G1G2G3K$,     $Delta_4=1$

于是传递函数为:

$frac{C(s)}{R(s)}=frac{p_1Delta _1 + p_2Delta _2 + p_3Delta _3 + p_4Delta _4}{Delta}$

$=frac {G_2G_3K(1+G_1) + G_1G_3K(1+G_2)} {1+G_1+G_2+G_3+2G_1G_2+G_1G_3+G_2G_3+2G_1G_2G_3} $

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