Something-Summary

1.Combinatorial Mathematics 1.1 Bell Number:

(B_n)表示元素个数为n的集合划分成若干个不相交集合的方案数。

(B_{n + 1} = sum_{k = 0}^n C(n,k)B_k).

1.2 Catalan Number:

递推公式： (h_1 = 1, h_n = frac{h_{n-1}(4n-2)}{n+1}).

组合数公式：(h_n = frac{C(2n,2)}{n +1} = C(2n,n) - C(2n,n+1)).

前n项: 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58768

长度为(n) 的合法括号匹配为(h_{n}), 有 (n+1) 个叶子节点的二叉树的形态有 (h_{n}) 个.

convex polygon with (n + 2) sides can be cut into triangles in (h_{n}) different ways.

1.3 Cayley's Theorem:

所有群G同构于在G上的对称群的子群。

拓展版本：对于(n) 个点, (m)个连通块，每个连通块(a[i])个点，用(s-1)条边连通的方案数为(n^{s-2}a[1]a[2]...a[m])。

n个节点（有标号）的树的形态个数为(n^{n-2}).。

1.4 Jacobi's Four Square Theorem

设 (a^2 + b^2 + c^2+d^2 = n) 的自然整数解的个数为(r4(n)), (d(n))为n的约数和，由Jacobi's Four Square Theorem可知，若n是奇数，则(r4(n) = 8d(n)), 否则(r4(n) = 24d(k)), (k)为 (n) 去除所有 (2) 后的结果。

1.5 Balls and Boxes

k个球	m个盒子	是否允许空盒子	方案数
各不相同	各不相同	是	(m^k)
各不相同	各不相同	否	(m!stirling2(k,m))
各不相同	完全相同	是	(sum_{i=1}^{m}Stirling2(k,i))
各不相同	完全相同	否	(Stirling2(k,m))
完全相同	各不相同	是	(C_{m + k - 1}^{k-1})
完全相同	各不相同	否	(C_{k-1}^{m-1})
完全相同	完全相同	是	(frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)})
完全相同	完全相同	否	(frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^3)})

1.6 Stirling2第二类斯特林数

(S(p,k)):将p个物体划分成k个非空的不可辨别的集合的方案数（第一类为划分为排列）。

(S(p,k) = kS(p-1,k) + S(p-1,k-1))。

(S(p,0) = 0,p >= 1,S(p,p) = 1)。

卷积形式(S(n,m) = sumlimits_{k=0}^mfrac{(-1)^k}{k!}×frac{(m-k)^n}{(m-k)!})。

1.7 组合恒等式

2.对称恒等式(inom{n}{k} = inom{n}{n-k})。

3.吸收恒等式(inom{n}{k} = frac{n}{k} inom{n-1}{k-1})。

4.加法恒等式(inom{n}{k} = inom{n-1}{k-1} + inom{n-1}{k})。

5.三项式(inom{n}{m}inom{m}{k} = inom{n}{k}inom{n-k}{m-k})。

6.平行求和(sumlimits_{kleq m}inom{n+k}{k} = inom{n + m + 1}{m})。

7.范德蒙德卷积(sumlimits_{k}inom{n}{k}inom{m}{r-k} = inom{n+m}{r})。

1.8 级数

(frac{1}{(1+x)^n} = C(n-1,n-1) + C(n,n-1)x + C(n+1,n-1)x^2 + ....C(2n,n-1)x^n).

1.9 二项式反演

(a(n) = sumlimits_{i = 0}^{n}inom{n}{i}b(i) o b(n) = sumlimits_{i = 0}^{n}(-1)^{n - i}inom{n}{i}a(i))

1.10 Polya与Burnside

(G)是目标集([1,n])上的置换群，(c(a_k))是在置换(a_k)的作用下的不动点。

则等价类的个数等于(frac{1}{|G|} * sumlimits_{i = 1}^gc(a_i))。

典型例子包括圆排列，只有一个置换有不动点,个数为n!，所以圆排列的数量要再除(n)（共有(n)个置换）。

一个置换对应若干个不相交的循环，记下循环的个数为(lambda(a_i))。

比如旋转这种最常见的操作，转i次对应的循环个数是(gcd(i,n))。

Polya定理: (L = frac{1}{|G|}sumlimits_{a_i in G} m ^{lambda(a_i)})，(m) 是染色的颜色数。

2.Graph Theory 2.1独立集点覆盖匹配。

二分图：

最小路径覆盖 = 最大独立集 = 总结点数 - 最大匹配 。

最小点覆盖 = 最大匹配数。

任意图：

最大独立集 + 最小点覆盖 = 点数。

最大团 = 补图的最大独立集。

2.2 Matrix-Tree Theorem

(diag(D))为点度数向量生成的对角矩阵，(G_{xy})为邻接矩阵，则(n-1)阶子矩阵的行列式值(det([diag(D) - G_{xy}]_{n-1}))为生成树的个数。Clayey定理是特殊形式。

2.3平面图

(F​)为平面中的分割区域数，(E​)为边数，(V​)为点数，(F = E- V +1​)。

2.4 双连通分量

加最少多少条边使得图变成双连通分量。

缩点成树后计算叶子节点树。

3.Number Theory

3.1 积性函数

(f(n))的定义为正整数域，值域为复数域，(f(n))则为数论函数。

(f(n))为数论函数，对于互质的整数(p,q)有$ f(p * q) = f(p) * f(q)$则为积性函数，没有互质条件限制时则被称为完全积性函数。

1.(id(i) = i) 单位函数 2.(e(i) = [i = 1]) 元函数。

3.(d(i)),(i)的约数个数 4.(sigma(i)),(i)的约数和。

5.(I(n) = 1)恒等函数 6.(phi(n))欧拉函数。

7.(mu(n)), 莫比乌斯函数 。

8.(sigma_k(n) = sum_{d|n}d^k)除数函数，n约数的k次幂和。

单位函数，元函数，单位函数的幂，恒等函数都是完全积性函数。

3.2积性函数性质

(n = sumlimits_{d|n}phi(d))。

(e(n) = sumlimits_{d|n}mu(d))。

3.3 Dirichlet Product

两个数论函数f和g的Dirichlet卷积为((f*g)(n) = sum_{d|n}f(d) * g(frac{n}{d}))，Dirichlet卷积满足交换律，结合律，对加法满足分配律。

任意函数和元函数的Dirichlet卷积是函数本身。

恒等函数和莫比乌斯函数的Dirichlet卷积是元函数（3.2.1）。

恒等函数和欧拉函数的Dirichlet卷积是单位函数（3.2.2）。

两个积性函数的Dirichlet卷积是积性函数。

恒等函数(I)和莫比乌斯函数(mu)在Dirichlet卷积意义下互为逆元，由此可以得到莫比乌斯反演(g = f *I, g * mu = f)。

3.4恒等式与技巧

1.(sum_{i=1}^{n}sigma_{k}(i) = sum_{i = 1}^{n}sum_{d|i}d^k = sum_{d = 1}^nd^klfloorfrac{n}{d} floor)。

2.([s = emptyset] = sum_{t subset s}(-1)^{|t|})。

3.(n = p^k o phi(n) = p^k - p^{k-1})。

4.(s(n) = sum_{i=1}^{n}i * lfloorfrac{n}{i} floor = sum_{i = 1}^{n}sigma(i))。

3.5 拓展欧拉定理

(a^n equiv a^{n mod phi(p) + phi(p)} (mod p), (n geq phi(p)))。

3.7 反素数

对于任何正整数n，其约数个数记为(d(n))，如果任意(i < n), (d(i) < d(n))，则n被称为反素数，反素数的形式必定为(n = 2^{t_1} * 3^{t_2} * 5^{t_3} *....),并且,反(t1 geq t2 geq t3 ....)，反素数的求解通常使用dfs。建的dfs树形式为，每层若干个节点表示的某个质因子的若干次方。

3.8 证明实例

1.计算(sum_{i = 1}^{m}sum_{j = 1}^{n}gcd(i,j))。

$f(d) = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^{m}[gcd(i,j) == d] $。

(F(d) = sum_{i = 1}^nsum_{j = 1}^m[d | gcd(i,j)])。

显然(F(d) = sumlimits_{d|n} f(n)),自然使用反演(f(d) = sumlimits_{d | n}F(n) * mu(frac{n}{d}))。

通过常用的加速技巧，即可在(O(sqrt{n}))时间内完成计算。

2.求第 (n) 个非完全平方数

先套一层二分，转化为求(f(n) = sum_{i = 1}^{n}sumlimits_{d}[d * d == n])。

这会是一种莫比乌斯式的容斥,也可以构造类似于1的两个函数，筛法求解。

(f(n) = sum_{d = 1}^{sqrt{n}}mu(d)lfloorfrac{n}{i^2} floor)。

3.(f(n) = rad(n) * phi(n), g(n) = sum_{d|n}f(d),h(n) = sum_{i = 1}^ng(i)), (rad(n)) 是 (n) 的因子中最大的无平方因子的因子。

$n = prod_{i = 1}^tp_i^{k_i} , $ (rad(n) = prod_{i = 1}^{t}p_i)。

((n,m) = 1,rad(n * m) = rad(n) * rad(m)) 。

(f(n))为积性函数。

(g(n) = sum_{d|n}f(d) = prod_{i=1}^{t}sum_{j = 0}^{k_i}f(p_i^j) = prod_{i = 1}^t(1 + p_i *sum_{j = 1}^{k_i}phi(p_i^{j - 1})) = prod_{i = 1}^t(p_i^{k_i} + 1))。

这个式子代表的含义是，每个质因子要么都选，要么都不选，得到的所有乘积。

(g(n) = sum_{d | n}[(d,frac{n}{d}) = 1] * d = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = n] * i)。

(h(n) = sum_{k=1}^{n}sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij = k] * i)。

(h(n) = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^n[(i,j) = 1] * [ij leq k] * i)。

(h(n) = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^{n}[ijleq n]isumlimits_d[d | i][d | j] mu(d))。

(h(n) = sum_{d = 1}^{sqrt{n}}dmu(d)sumlimits_{i = 1}^{n}sumlimits_{j = 1}^{n}[d | i][f | j][ij leq n]frac{i}{d})。

(h(n) = sumlimits_{d = 1}^{sqrt{n}}dmu(d)sumlimits_{i = 1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sumlimits_{j = 1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}[ijd^2 leq n]i)。

(h(n) = sumlimits_{d = 1}^{sqrt{n}}dmu(d)sumlimits_{i = 1}^{lfloorfrac{n}{d^2} floor}{lfloorfrac{n}{i * d^2}} floor i)。

4.杜教筛

求(f(n) = sum_{i = 1}^nphi(i))。

(sum_{i = 1}^{n}sum_{d | i}phi(d) = frac{n(n + 1)}{2} = sum_{i = 1}^{n}f(lfloorfrac{n}{i} floor) = sum_{i = 1}^nsum_{d = 1}^{lfloorfrac{n}{i} floor}phi(d))。

4.Calculus

4.1调和级数。

(sum_{i = 1}^{n}frac{1}{i})在 (n) 较大时等于(ln n + r)。欧拉常数(r) 为0.5772156649015328。若有精度问题，请加上 (frac{1}{2*n})

5.Others

5.1 皮克定理

给定顶点坐标均是整点的简单多边形，面积(S)，内部格点(n)，边上格点(s)。

三者的关系为(S = n + frac{s}{2} + 1)。

5.2 幂和

(sumlimits_{i = 1}^{n}i = frac{n(n+1)}{2})。

(sumlimits_{i=1}^{n}i^2 = frac{n(n+1)(n+2)}{6})。

(sumlimits_{i=1}^{n}i^3 = [frac{n(n+1)}{2}]^2)。

$sumlimits_{i=1}^n i^4 = frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} $。

(sumlimits_{i=1}^{n}i^5 = frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12})。

5.3 计算几何

1.叉积和点积均具有关于向量加减的分配率。

2.多边形的面积等于所有点逆时针排序以后，相邻两个点的向量叉积的结果。

5.4 三角形面积

(S = a * h / 2)。

(S = a * b *c / 4r) : (r) 是外接圆的半径。

(S = sqrt(p(p - a) * (p - b) *(p - c)))。

5.5 牛顿迭代

(x^{'} = x - frac{f(x)}{f^{'}(x)})。

可以用来逼近(sqrt(n))等。