协方差与联合概率密度的关系、协方差的几何意义

　　以二维正态分布来举例。当方差不变，而协方差变化时，分布沿着长宽比等于两个方差之比的矩阵逐渐变窄。如下图所示：

　　两个分布的标准差都为0.1，均值都为0，协方差左边从0一直上升到0.01，右边从0下降到-0.01。

　　看了这个图，有人可能会问，随着协方差的变化，同一高度的椭圆等高线是否始终与矩形相切。看起来好像是这样的，然而并没有。具体证明就是高中的解析几何题，不赘述（其实仔细看动图也能看出来并没有）。

　　当协方差和方差一起变化时，分布变化如下：

　　其中的矩形长宽比同样等于横纵随机变量的方差之比。

　　经过以上观察，我们可以总结出，方差决定了联合分布的“倾斜度”，协方差决定了联合分布的“宽度”。