1、映射
(1)映射：X,Y是两个非空集合，有一个法则f，对X中的每个元素x，都有唯一的y与之对应
{1}f就叫映射，f:X->Y，集合到集合之间的关系
{2}y叫像，x叫原像
{3}Rf叫值域，Range，值域一定小于Y集合，Y不全不都用上；Df定义域，Domain，X一定都用上
(2)三大要素：X，f，Rf
(3)x属于X，对应的y是唯一的，即一个x不能多个y，多个x可以一个y
(4)一般值域Rf<=Y
(5)满射：Rf=Y
(6)单射：x1不等于x2，f(x1)不等于f(x2)，一个x对应一个y
(7)一一映射：即是单射，也是满射，X里面的每一个x都对应Y里面的一个y，X和Y的元素数目是一样多的
(8)逆映射：设f：x->y，是单射才能满足逆映射，每个y属于Rf，都有唯一的x属于X，满足f(x)=y，g：Rf->X，记作f-1次，Df-1次=Rf，Rf-1次=X
(9)复合映射：g：X->Y1，f：Y2->Z，并且Y1包含Y2，x属于X，f[g(x)]属于Z，记作fog：X->Z，Rg包含在Df里头
课外：概率中：X表示变量，x表示具体取值
2、函数
(1)D包含于R，f：D->R（f从D到R的映射），y=f(x)
{1}x属于D，x是自变量
{2}y是因变量，D是定义域Df
{3}R叫值域，记作Rf=f(D)
{4}f表示对应规则，f(x)表示具体函数值
(2)构成函数的两要素
{1}定义域Df
{2}对应规则f
(3)函数表示的三种方法
{1}表格法
{2}图形法
{3}解析式法(公式法)
{4}符号函数：y=sgnx，x>0 y=1，x=0 y=0，x<0 y=-1，完整英文sign
{5}不超过x的最大整数[x]，取整函数
3、函数的几种特性
(1)有界性：
--任意：倒A，Any；
--存在：反E，镜像E；
--累加：！；
--连加：E，一格西母；
--连乘：派的腿捋直；
{1}上界：存在k1,f(x)<=k1，一个上界，不唯一
{2}下界：存在k2,f(x)>=k2，一个下界，不唯一
{3}有界：如果存在整数M，|f(x)|<=M，则称为有界
{4}无界：任意取正整数M，存在x1属于X，|f(x1)|>M
{5}有界的充分必要条件是：既有上界，也有下界；-M<=f(x)<=M，这时，取界要取大的值
(2)单调性
{1}x1<x2，f(x1)<f(x2)单调增
{2}x1>x2，f(x1)<f(x2)单调减
(3)对称性
{1}D关于原点对称
{2}奇对称：f(-x)=-f(x)，函数图像关于原点对称
{3}偶对称：f(x)=f(-x)，函数图像关于y轴对称
(4)周期性
{1}如果存在正数L，使f(x+L)=f(x)，此时称为周期函数；通常指的周期，称为最小周期。
{2}并非每个周期函数都有最小周期，例子：一个函数，当x取有理数时候，函数值为1；当x取无理数的时候，函数值为0
{3}不存在最小的正有理数周期
[1]反推：任何正有理数r都是周期，如果x是有理数，加上有理数，还是有理数；如果x是无理数，加上有理数，还是无理数
4、反函数
(1)设f：D->f(D)是单射，若存在f-1次：f(D)->D；如果f是单调函数且单射，必定存在反函数，且反函数也是单调的
(2)如果原来f是增函数，那么f-1次也是增函数；如果原来f是减函数，那么f-1次也是减函数
(3)f和f-1次这两个函数是关于y=x对称的
5、复合函数
(1)y=f(t) t=g(x)，那么y=f(g(x))为复合函数，t为中间变量
(2)g(x)的值域，必须要落再f(t)的定义域里面
6、函数的运算
(1)假设f(x),g(x)，定义域分别为Df和Dg，Df和Dg取交集，不能是空集
(2)(f+-g)(x)=f(x)+-g(x)
(3)(f·g)(x)=f(x)·g(x)
(4)f/g(x)=f(x)/g(x)，g(x)不等于0
(5)经典例题：f(x)定义域为(-L,L)，证明f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。
7、初等函数
(1)幂函数：y=x的u次方、指数函数：y=a的x次方、对数函数：loga为底的x、三角函数sinx cosx tanx、反三角函数sinx-1次
(2)fi(x)是基本初等函数，有限次的运算复合
8、数列的极限定义
(1)数列：1/2,1/4,1/8,1/16...向0逼近，x1,x2,x3...xn...，{xn}称为数列，有无穷多个
(2)每个数称为项，xn称为一般项(通项)
(3)数列的极限：{xn}是数列，任取反3>0（任意小的距离），存在N（某项），便当n>N时（这项后的所有项），|xn-a|<反3（都落在小区区间里面），a就是极限
9、反三角函数
(1)反函数，把x化为y，的函数，图形关于y=x对称
(2)y=sinx，x取(负无穷，正无穷)，y取(-1，1)；反函数为y=arcsinx，x取(-1，1)，y取(-派/2，派/2)，因为函数只能一个或者多个x对应唯一一个y，所以反函数取的区间有限制(往上2、函数)
(3)x与arcsinx换算
{1}x=0,arcsinx=0
{2}x=1/2,arcsinx=派/6
{3}x=(根号2)/2,arcsinx=派/4
(4)y=cosx，x取(负无穷，正无穷)，y取(-1，1)；反函数为y=arccosx，x取(-1，1)，y取(0，派)
(5)y=tanx，x不取(派/2+n派)，y取(负无穷，正无穷)；反函数为y=arctanx，x取(负无穷，正无穷),y取(-派/2,派/2)
(6)y=cotx，略
10、函数的极限
(1)x->a，有限数；x->a，f(x)->b
{1}f(x)再x0的去心领域内有定义(在x0处可以没有定义)；连续的定义是，lim(x->x0)f(x)=f(x0)
{2}存在A，任意取反3>0，存在得塔>0，0<|x-x0|<得塔时，|f(x)-A|<反3，lim(x->x0)f(x)=A，f(x)->A（x->x0）数形结合
(2)左极限lim(x->x0-)f(x)=A，右极限lim(x->x0+)f(x)=A；x->x0时，f(x)极限存在---充分必要条件是---左右极限存在且相等
(3)性质1：函数的极限是唯一的
(4)性质2：局部有界性；首先告诉函数极限存在，任取M>0，得塔>0，0<|x-x0|<得塔（局部），|f(x)|<=M（界）
(5)性质3：局部保号性；f(x)>0
(6)性质4：函数极限与数列极限；lim(x->x0)f(x)=A，{xn}->x0，lim(n->无穷)=lim(x->x0)f(x)；函数极限存在，数列极限存在；数列极限存在，函数极限不一定存在。因为函数的极限是取数列的子集，不是包含数列的全集。
11、无穷小与无穷大
(1)无穷小：
{1}误差：理解为-100000000000
{2}正解：趋于0为无穷小，可以从正或从负趋于0，本身是0也是无穷小。
{3}确定数不能称为无穷小的数，例如0.000001，不能成为无穷小。
{4}定义：x->x0(x->无穷)，f(x)的极限是0，叫f(x)是x->x0（或者x->无穷）时的无穷小
{5}无穷小+无穷小=无穷小；无穷小-无穷小=无穷小；无穷小*无穷小=无穷小；C*无穷小=无穷小；无穷小/无穷小=未知，看谁趋于0的速度快
(2)无穷大：
{1}趋于正无穷、负无穷，合称无穷。
{2}lim(x->x0或者x->无穷)=无穷
{3}无穷大+无穷大=未知；无穷大-无穷大=未知；无穷大*无穷大=无穷大；无穷大/无穷大=未知；C*无穷大=未知，注意看C是不是0；无穷小*无穷大=未知
(3)定理2：f(x)无穷大，那么1/f(x)无穷小；倒过来一样，但注意0不能取
12、极限的运算法则
(1)定理1：两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和还是无穷小
(2)定理2(重要)：有界函数和无穷小的乘积是无穷小，例如：lim(x->0)sin(1/x)*x=0
(3)结论1：C(常数)*无穷小=无穷小，常数=0也行
(4)结论2：有限个无穷小的乘积是无穷小
(5)定理3：lim f(x)=A，lim g(x)=B，条件，极限均存在下
{1}lim[f(x)+-g(x)]=lim f(x)+-lim g(x)=A+-B，有限个
{2}lim[f(x)*g(x)]=lim f(x)*lim g(x)，有限个
{3}lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)，B！=0；如果0/0，参照洛必达法则
{6}结论4：如果lim f(x)存在，lim[C*f(x)]=C*lim f(x)
{7}结论5：如果lim [f(x)]n次方，[lim f(x)]n次方
{8}定理4：数列极限，略
{9}定理5：如果一个函数，比另一个函数大，那么这个函数的极限，比另一个函数的极限大；如果一个函数A大于函数B，那么函数A的极限是大于等于函数B的极限；
{10}有理分式无穷规律：
-1-x趋于什么，代入什么
-2-当x趋于无穷时，分子最高次和分母最高次相等，结果只取最高次；分母最高次大于分子最高次，那就取0；分子最高次大于分母最高次，那就取无穷；
13、极限存在准则，两个重要极限（真的很重要）
(1)准则1（夹逼准则）：
{1}数列{Xn} {Yn}
{2}存在n0属于N，n>n0时，Yn<=Xn<=Zn
{3}lim(n->无穷)Yn=a；lim(n->无穷)Zn=a
{4}则lim(n->无穷)Xn=a
{5}这两端函数需要极限相同，很难使用
(2)第一个重要极限：lim(x->0)sinx/x=1；画图理解，根据图像，y=sinx和y=x是趋近相同
{1}要求1：x->0
{2]要求2：lim(n->0)six(n)/n=1；n可以是一个未知数，也可以是一个复合式子
{3}要求3：如果没有sin，有tan，需要转换一下；如果没有x，构造x，分子分母同时构造；
(3)准则2：单调有界数列必有极限，收敛必有界，有界不一定收敛
(4)第二个重要极限：lim(x->无穷)(1+1/x)x次方=e
{1}要求1：1+1/x里面一定是加号，如果不是，那就凑到分母，然后凑指数
{2}要求2：lim(n->无穷)(1+1/n)n次方=e；n可以是一个未知数，也可以是一个复合式子
{3}要求3：不停变换适配出重要极限的形式再转换
{4}同理：lim(x->0)(1+x)的1/x次
(5)结论：{Xn}收敛<=>任给反3，存在N，m>N，n>N时，|Xn-Xm|<反3；<=>表示充要条件
14、无穷小的比较
(1)定义1：
{1}lim a/b=0，a是b的高阶无穷小，可以记作a=o(b)
{2}lim a/b=无穷，a是b的低阶无穷小
{3}lim a/b=C!=0，a是b的同阶无穷小
{4}lim a/(b的k次方)=C!=0，a是b的k阶无穷小
{5}lim a/b=1，等价无穷小
(2)定理1：B和A等价<=>B=A+o(A)
(3)定理2：A和A-是等价的，B和B-是等价的，且limB-/A-存在，limB/A=limB-/A-；意思是运用等价无穷小替换，前提是极限存在的；
(4)把复杂的形式，替换成简单的形式
(5)注意，等价无穷小替换只能用于x->0
{1}两个无穷小比的极限时，分子和分母用等价无穷小替换，替换的时候极限存在
{2}分子或分母是若干因子的乘积，可对其中一个或几个因子做等价无穷小替换
15、函数的连续性
(1)连续
{1}增量：严格来说，是改变量；
{2}推导1：lim(得塔x->0)得塔y=lim(得塔x->0)f(x+得塔x)-f(x0)=0
{3}推导2：lim(得塔x->0)f(x0+得塔x)=f(x0)
{4}推导3：lim(x->x0)f(x)=f(x0)
{5}要求
-1-在x0处有极限
-2-在x0处有定义
-3-极限值等于函数值
{6}左连续：lim(x->x0-)f(x)=f(x0)
{7}右连续：lim(x->x0+)f(x)=f(x0)
{8}连续<=>左、右连续
{9}左端点表示右连续，右端点表示左连续，用区间思想理解
{10}连续的几何含义：一笔画原理
(2)间断点：就是不连续
{1}要求
-1-在x0处无定义
-2-lim(x->x0)f(x)不存在
-3-lim(x->x0)f(x)!=f(x0)
{2}例子
-1-：y=tanx，当x=派/2，无意义，无穷间断点
-2-：y=1/x，在x=0，无意义，无穷间断点
-3-：y=sin(1/x)时候，x=0时，振荡间断点
-4-：y=(x平方-1)/(x-1)，在x=1时，可去间断点
-5-：略，跳跃间断点
{3}集合含义：一笔画不出来
{4}两类间断点
-1-第一类间断点：左右极限都存在：可去间断点，跳跃间断点
-2-第二类间断点：左右极限至少一个不存在：振荡间断点，无穷间断点
16、闭区间上连续函数的性质
(1)有界性与最大值最小值定理
(2)零点定理：介质定理平移可得，
(3)介质定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)=A，f(b)=B，AB不同，对C(在A与B之间)，至少存在一个F属于(a,b)，f(F)=C。