现代科技进步促使微积分学继续向前发展

摘要:
在那个历史时期,莱布尼茨无穷小微积分非常流行。借助数学软件包绘制技术,他发现了传统微积分导数逐点定义的非直觉“病态”,并由此提出根据A.Robinson关于无穷小的理论,借助公理化在传统微积分中引入“无穷小”超实数,全面“复兴”莱布尼茨的无穷小微积分。现在的问题是,引入现代意义上的“无穷小”并不是个人的“偏好”,而是现代科学技术进步促进微积分不断发展的“唯一途径”。

   大家知道,数学软件包(Mathematica)能使我们“看见”数学函数的细微部分的表现,开阔了人们的眼界,发现了“逐点”定义的函数导数的“病态”表现(违反了人们的直觉)。面对这种局面,我们该怎么办呢?

         根据文献记载,1690年,数学家罗必达与贝尔努利(l’Hospital/Bernoulli)在微积分教材里面说:“curves consist of infinitesimal straight segments”,意思是,曲线是由无穷小的直线段组成的。在那个历史时期,莱布尼兹无穷小微积分学十分流行。根据莱布尼兹的数学思想,如果函数f满足条件:

*)                f(x+ ∆x) - f(x) = f'(x)∆x + ε ∆x       x∈ (ab)

其中∆xε都是所谓的“无穷小”,则称函数f'是函数f在开区间(ab)中的“导数”。我们注意到,上面的(*)式正好是“局部线性”表达式,也就是,无穷小的直线段。

          由此可见,古人关于是由无穷小的直线段所组成的直观想法不是毫无根据的“乱想”。经过K.D.Stroyan的周密研究发现,这个“导数”的定义正好等价于“一致性导数”的现代定义,而不是现今广为流行的“逐点式”定义的导数。

          实际上,K.D.Stroyan是美国IOWA大学的计算机专家兼数学教授。他借助数学软件包绘图技术发现了传统微积分学导数逐点定义的违反直觉“病态”,从而遵照A.Robinson关于无穷小的理论提出在传统微积分学里面借助公理化引进“无穷小”超实数,全面“复活”当年莱布尼兹的无穷小微积分学。

               根据《教育与人生》网站工作计划的安排,昨日J.Keisler《基础微积分》第9章级数的文字转录工作已经完成,多元微积分部分的转录工作可望在本月底完成,正好赶上2014年考研“备考服务”之用。

               现在的问题是,引进现代意义上的’无穷小”不是个别人的“偏好”,而是现代科技进步推动微积分学继续向前发展的“必由之路”。面对90后大学生,祖国未来之栋梁,数学教员不能再继续讲“瞎话”,故意掩盖传统微积分“逐点定义导数”所招来的种种“病态”。为此,《教育与人生》网站特为大学数学教员开辟了《微积分教研室》,里面有J.Keisler专门为《基础微积分》教材撰写的辅导用书“无穷小微积分基础”可供广大数学教员自由参阅。


免责声明:文章转载自《现代科技进步促使微积分学继续向前发展》仅用于学习参考。如对内容有疑问,请及时联系本站处理。

上篇python 脚本检测python 版本JSR303校验的基本使用和结合AOP使用下篇

宿迁高防,2C2G15M,22元/月;香港BGP,2C5G5M,25元/月 雨云优惠码:MjYwNzM=

相关文章

LaTex常用数学符号整理

在论文和博客的写作中,经常会用到Latex的语法来书写数学公式,一份详细的数学符号对照表必不可少,本文重写了部分 Markdown 公式指导手册 。 -1.求和积分的上下标位置 sum olimits_{j=1}^{M} 上下标位于求和符号的水平右端, sumlimits_{j=1}^{M} 上下标位于求和符号的上下处, sum_{j=1}^{...

数学图形(2.1)三叶结

终于将二维图形发完了,从这一节开始,步入3D的图形世界. 相关软件参见:数学图形可视化工具,使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.该软件免费开源.QQ交流群: 367752815 以下是维基中对三叶结的介绍: 在纽结理论中,三叶结(trefoil knot)是一种最简单的非平凡纽结。可以用反手结连接两个末端而达成。它是唯一一种有3个交叉的纽结。它也可以描...

从数学到密码学(十九)

数字证书、CA及PKI(二) 本节我们正式验证数字证书sslclientcert中签名的合法性,根据RFC2459,证书内容分为三部分:tbsCertificate、signatureAlgorithm和signatureValue。证书中signatureAlgorithm内容是sha1WithRSAEncryption,结合RSA算法,得到验证公式如下...

数字图像基本处理——空间滤波(spatial filtering)

空间滤波器主要包括平滑滤波器和锐化滤波器,下面从理论和实践两个部分阐述。 理论 空间滤波的公式如下: 空间滤波的过程也就是不断用一个filter(一般为3X3)在图像上与同样大小的局部patch作用,作用结果更新在中心点上,所以需要m,n为奇数。 在2维时域信号上做卷积与此公式稍有不同,如下: 可以看到,空间滤波公式中两个+变成了-,对应于空间滤波中...

图像处理常用边缘检测算子总结(转)

  不同图像灰度不同,边界处一般会有明显的边缘,利用此特征可以分割图像。需要说明的是:边缘和物体间的边界并不等同,边缘指的是图像中像素的值有突变的地方,而物体间的边界指的是现实场景中的存在于物体之间的边界。有可能有边缘的地方并非边界,也有可能边界的地方并无边缘,因为现实世界中的物体是三维的,而图像只具有二维信息,从三维到二维的投影成像不可避免的会丢失一部分...

机器学习 -- 统计与分布

      机器学习中用到的一些统计方面的概念。 1. 标准差     公式:       假设一个班有30个学生,每个学生的语文课的考试成绩是 Xi, 平均分是80,标准差 不是每个学生的成绩减去平均分的平方的和,再除以学生数,然后再开方。     意义: 标准差越大,表示学生之间的水平相差较大。 2. 加权均值     平均值计算时,按照权重的。比如...