最长递增子序列

问题

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4.

解法1：最长公共子序列法

这个问题可以转换为最长公共子序列问题。如例子中的数组A{5，6， 7， 1， 2， 8}，则我们排序该数组得到数组A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然后找出数组A和A’的最长公共子序列即可。显然这里最长公共子序列为{5, 6, 7, 8}，也就是原数组A最长递增子序列。最长公共子序列算法在算法导论上有详细讲解，这里简略说下思想。

假定两个序列为X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn)，并设Z={z1, z2, ..., zk}为X和Y的任意一个LCS。

1）如果xm = yn，则zk = xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2）如果xm != yn, 则zk != xm蕴含Z是Xm-1和Y得一个LCS。

3）如果xm != yn, 则zk != yn蕴含Z是X和Yn-1的一个LCS。

解法2：动态规划法（时间复杂度O(N^2))

设长度为N的数组为{a0，a1, a2, ...an-1)，则假定以aj结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j)，则L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是说，我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j-1)，找出满足条件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(j)（从0到N-1），找出最大值即为最大递增子序列。时间复杂度为O(N^2)。

例如给定的数组为{5，6，7，1，2，8}，则L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以该数组最长递增子序列长度为4，序列为{5，6，7，8}。算法代码如下：

Cpp代码

1. #include<iostream>
2. usingnamespacestd;
3. #definelen(a)(sizeof(a)/sizeof(a[0]))//数组长度
4. intlis(intarr[],intlen)
5. {
6. intlongest[len];
7. for(inti=0;i<len;i++)
8. longest[i]=1;
10. for(intj=1;j<len;j++){
11. for(inti=0;i<j;i++){
12. if(arr[j]>arr[i]&&longest[j]<longest[i]+1){//注意longest[j]<longest[i]+1这个条件，不能省略。
13. longest[j]=longest[i]+1;//计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度
14. }
15. }
16. }
18. intmax=0;
19. for(intj=0;j<len;j++){
20. cout<<"longest["<<j<<"]="<<longest[j]<<endl;
21. if(longest[j]>max)max=longest[j];//从longest[j]中找出最大值
22. }
23. returnmax;
24. }
26. intmain()
27. {
28. intarr[]={1,4,5,6,2,3,8};//测试数组
29. intret=lis(arr,len(arr));
30. cout<<"maxincrementsubstringlen="<<ret<<endl;
31. return0;
32. }

解法3：O(NlgN）算法

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码如下（代码中的数组B从位置0开始存数据）：

Cpp代码

1. #include<stdio.h>
2. #include<stdlib.h>
3. #include<string.h>
5. #defineN9//数组元素个数
6. intarray[N]={2,1,6,3,5,4,8,7,9};//原数组
7. intB[N];//在动态规划中使用的数组,用于记录中间结果,其含义三言两语说不清,请参见博文的解释
8. intlen;//用于标示B数组中的元素个数
10. intLIS(int*array,intn);//计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求
11. intBiSearch(int*b,intlen,intw);//做了修改的二分搜索算法
13. intmain()
14. {
15. printf("LIS:%d ",LIS(array,N));
17. inti;
18. for(i=0;i<len;++i)
19. {
20. printf("B[%d]=%d ",i,B[i]);
21. }
23. return0;
24. }
26. intLIS(int*array,intn)
27. {
28. len=1;
29. B[0]=array[0];
30. inti,pos=0;
32. for(i=1;i<n;++i)
33. {
34. if(array[i]>B[len-1])//如果大于B中最大的元素，则直接插入到B数组末尾
35. {
36. B[len]=array[i];
37. ++len;
38. }
39. else
40. {
41. pos=BiSearch(B,len,array[i]);//二分查找需要插入的位置
42. B[pos]=array[i];
43. }
44. }
46. returnlen;
47. }
49. //修改的二分查找算法，返回数组元素需要插入的位置。
50. intBiSearch(int*b,intlen,intw)
51. {
52. intleft=0,right=len-1;
53. intmid;
54. while(left<=right)
55. {
56. mid=left+(right-left)/2;
57. if(b[mid]>w)
58. right=mid-1;
59. elseif(b[mid]<w)
60. left=mid+1;
61. else//找到了该元素，则直接返回
62. returnmid;
63. }
64. returnleft;//数组b中不存在该元素，则返回该元素应该插入的位置
65. }