摘要：
设置$displaystyle sum_｛n＝0｝^｛\infty｝a_ n$是一个绝对收敛的实数序列，并设$f:mathbb｛n｝到mathbb{n｝$是一种严格递增函数。证明$displaystyle sum_｛m=0｝^｛infy｝a_｛f｝证明：通过数学归纳法证明$f geqn$很容易，因为$displastyle sum _｛n=0｝｝^｛｛\infy}a_ n$是绝对收敛的，所以对于任何给定的正实数$varepsilon$，都有一个相应的整数$n$，使得$displaastyle sum-｛n=n｝^{infy｛|a_ n| leq varepsion$。所以$displaystyle sum_{n=n}^{infty}|a_{f}|leq变量$。因此$displaystyle sum_｛m=0｝^｛\infty｝a_｛f｝$绝对收敛
设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是严格增函数.证明$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也是绝对收敛的级数.
证明：利用数学归纳法容易证明$f(n)\geq n$.
因为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$绝对收敛，所以对于任意给定正实数$\varepsilon$,都存在相应的整数$N$,使得$\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|\leq\varepsilon$.所以$\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}|a_{f(n)}|\leq\varepsilon$.所以$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$绝对收敛.